Curve semplici: Definizione e parametrizzazione

Il documento inizia definendo una curva chiusa come una curva che può essere descritta con continuità da un punto generico, in funzione di un parametro reale, partendo da una posizione iniziale e ritornando alla stessa posizione dopo aver percorso l'intera curva. Questa definizione contrasta con quella di curva aperta, che non possiede questa proprietà di chiusura. La classificazione in curve chiuse e aperte è un elemento fondamentale per la successiva analisi delle proprietà geometriche e topologiche delle curve. Si introduce inoltre il concetto di curva di classe C^k in R^n, definita come un'applicazione continua γ: I ⊆ R → R^n, dove I è un intervallo della retta reale. Questa definizione formale fornisce un quadro matematico rigoroso per lo studio delle curve, permettendo una trattazione precisa delle loro proprietà.

Un concetto chiave per la classificazione delle curve è quello di omeomorfismo. Intuitivamente, due insiemi X e Y sono omeomorfi se Y può essere ottenuto da X tramite deformazioni continue, senza lacerazioni o sovrapposizioni. Formalmente, un omeomorfismo è una funzione vettoriale biunivoca e continua, con inversa continua. Questo concetto è cruciale perché permette di classificare le curve in base alle loro proprietà topologiche, indipendentemente da dettagli geometrici come forma e distanze. Due curve omeomorfe condividono proprietà topologiche essenziali, anche se le loro forme geometriche possono differire. La definizione formale di omeomorfismo è data come una funzione vettoriale f: X ⊆ R^n → Y ⊆ R^k biunivoca, continua insieme alla sua inversa. Questa caratterizzazione matematica precisa consente una classificazione rigorosa delle curve dal punto di vista topologico.

Il documento prosegue definendo una curva semplice, aperta, come un sottoinsieme omeomorfo ad un intervallo [a,b] di R. Questa definizione implica che una curva semplice aperta può essere parametrizzata da una funzione vettoriale definita su un intervallo compatto [a,b], continua e biunivoca. La biunivocità assicura che la curva non si autointersechi, mentre la continuità garantisce la sua natura continua e priva di 'salti'. La rappresentazione parametrica, con la variabile t che percorre l'intervallo [a,b], permette di descrivere la curva in modo analitico, specificando le coordinate di ogni punto in funzione del parametro. Le curve semplici aperte possono essere dotate di estremi o avere un solo estremo, o addirittura essere prive di estremi, a seconda del tipo di intervallo I considerato. L’importanza della rappresentazione parametrica risiede nel fatto che essa offre un modo preciso per studiare e manipolare le proprietà geometriche e analitiche delle curve.

Il documento introduce la definizione di curva semplice chiusa come un sottoinsieme γ ⊆ R³ (o R²) omeomorfo ad una circonferenza. In altre parole, è il codominio di una funzione vettoriale p(t) definita e continua su un intervallo compatto [a,b], tale che la sua restrizione all'intervallo semiaperto [a,b[ sia biunivoca e p(a) = p(b). Questa condizione assicura la chiusura e l’assenza di autointersezioni. La condizione p(a) = p(b) specifica la chiusura della curva, indicando che il punto iniziale e finale coincidono. Il documento accenna anche al Teorema di Jordan, che afferma che una curva piana, semplice e chiusa, divide il piano in due regioni connesse: l'interno e l'esterno della curva. Questa proprietà topologica delle curve di Jordan è un risultato significativo nella teoria delle curve e ha importanti implicazioni in diverse aree della matematica e delle scienze applicate. Le curve piane, semplici e chiuse sono anche definite come curve di Jordan.

Il documento presenta diversi esempi di curve con le loro rappresentazioni parametriche. La cicloide, definita come la curva tracciata da un punto fisso su una circonferenza che rotola lungo una retta, è descritta come una curva semplice aperta e piana. Un altro esempio è l'elica cilindrica, una curva semplice aperta non dotata di estremi, inclusa in un cilindro circolare. La sua rappresentazione parametrica evidenzia il raggio e il passo costante. Viene poi analizzata la spirale logaritmica, nota anche come spirale equiangolare o spirale di crescita, presente frequentemente in natura. Descritta per la prima volta da Descartes e studiata approfonditamente da Jakob Bernoulli, è una curva semplice aperta priva di estremi, con un'equazione parametrica che coinvolge esponenziali e funzioni trigonometriche. La modifica dei parametri 'a' e 'k' influenza la rotazione e la strettezza della spirale. Questi esempi illustrano la varietà di curve e come possono essere rappresentate parametricamente, offrendo diversi modi per descrivere le loro caratteristiche geometriche.

La sezione si concentra sul calcolo della lunghezza di una curva. Un approccio iniziale descrive un metodo di approssimazione geometrica: si collegano un numero finito di punti sulla curva con segmenti di linea, ottenendo un percorso poligonale. La lunghezza di questo percorso, somma delle lunghezze dei segmenti (calcolate con il teorema di Pitagora), approssima la lunghezza della curva. Riducendo la lunghezza dei segmenti, l'approssimazione migliora, avvicinandosi alla lunghezza effettiva dell'arco. Successivamente, il testo introduce il concetto di rettificabilità di una curva, definendo una curva rettificabile come una curva di classe C¹ con lunghezza definita da un integrale. Vengono fornite formule specifiche per il calcolo della lunghezza, in particolare per una curva piana rappresentata da y = f(x) e per curve rappresentate da equazioni polari ρ = ρ(θ). Questi metodi analitici offrono un approccio più preciso rispetto all'approssimazione geometrica.

Il documento introduce il concetto di curve equivalenti. Due curve parametriche sono considerate equivalenti se una può essere ottenuta dall'altra tramite un cambiamento di parametro regolare. Questa equivalenza implica che due curve equivalenti hanno la stessa lunghezza. La dimostrazione di questa proprietà si basa su un cambiamento di variabili nell'integrale che calcola la lunghezza della curva. Questo risultato evidenzia che la lunghezza di una curva è una proprietà intrinseca, indipendente dalla specifica parametrizzazione utilizzata. La dimostrazione sfrutta la proprietà che il cambiamento di parametro è un diffeomorfismo di classe C¹, invertibile e con inversa di classe C¹. Questa condizione assicura che la trasformazione del parametro non altera la lunghezza dell'arco di curva.

La sezione introduce il concetto di integrale curvilineo, spiegando come esso sia un'estensione dell'integrale definito ad una funzione definita su una curva. La definizione è fornita per una curva γ con rappresentazione parametrica φ: [a, b] → R^n. L'integrale curvilineo, in questo contesto, rappresenta l'integrale della funzione lungo il percorso definito dalla curva. Vengono presentate le formule per il calcolo dell'integrale curvilineo, sia in coordinate cartesiane che in coordinate polari. Nel caso delle coordinate polari, la formula tiene conto della rappresentazione parametrica della curva in termini di ρ(t) e θ(t), includendo il calcolo dell'elemento di arco ds in termini delle derivate di ρ e θ rispetto a t. L'importanza di questa formula risiede nella sua applicabilità a una vasta gamma di curve, semplificando il processo di integrazione in sistemi di coordinate più adatti alla geometria della curva stessa.

Un teorema fondamentale afferma che l'integrale curvilineo non dipende dalla parametrizzazione scelta per la curva, a patto che la parametrizzazione sia regolare. Questo significa che due diverse parametrizzazioni di una stessa curva, che rispettano le condizioni di regolarità, porteranno allo stesso risultato nell'integrale curvilineo. La dimostrazione di questo teorema si basa sulla formula di integrazione per sostituzione, mostrando come il cambiamento di variabile nel processo di integrazione non alteri il valore dell'integrale. Questa indipendenza dalla parametrizzazione è una proprietà cruciale che semplifica il calcolo degli integrali curvilinei, consentendo di scegliere la parametrizzazione più conveniente per la curva in esame, senza preoccuparsi di influenzare il risultato finale dell'integrazione.

La sezione finale introduce il Teorema di Gauss-Green, che stabilisce una connessione tra integrali doppi e integrali curvilinei. Il teorema è applicabile a domini limitati in R² con frontiera ∂D, una curva di Jordan regolare a tratti. L'orientazione positiva di ∂D è definita come il verso antiorario. Il teorema di Gauss-Green permette di calcolare un integrale doppio su un dominio tramite un integrale curvilineo sulla sua frontiera. Questo risultato è particolarmente utile quando il calcolo dell'integrale doppio è complesso, mentre il calcolo dell'integrale curvilineo corrispondente è più semplice. La formulazione del teorema richiede la determinazione di una funzione F(x, y) tale che le sue derivate parziali coincidano con la funzione integranda dell'integrale doppio. Il teorema di Gauss-Green rappresenta quindi uno strumento potente per semplificare il calcolo di integrali, offrendo una relazione significativa tra analisi di superfici e analisi di curve.