Disequazioni di Secondo Grado

Una disequazione di secondo grado può essere presentata in una delle seguenti forme: a x² + bx + c ≥ 0; a x² + bx + c ≤ 0 Per risolverla, supponiamo che il coefficiente di x² sia positivo. Se non lo fosse, basta cambiare il segno a tutti i termini e quindi il verso della disequazione; ad esempio, per risolvere la disequazione -2 x² + 3 x - 1 ≥ 0 si può risolvere la disequazione 2 x² - 3 x + 1 ≥ 0. Quindi si risolve l'equazione associata, cioè si sostituisce il segno della disequazione con l'uguale. Si passa cioè da una disequazione del tipo a x² + bx + c ≥ 0 all'equazione a x² + bx + c = 0. Possono presentarsi tre casi:

1. L'equazione è spuria: a x² + b x = 0. Questa equazione ammette sempre due radici reali e distinte
2. c>0: l'equazione non ammette soluzioni reali; il binomio ax² + c è la somma di un quadrato più un numero positivo, pertanto è sempre positivo. Di conseguenza la disequazione ax² + c ≥ 0 avrà soluzioni per ogni x reale, mentre ax² + c ≤ 0 non avrà nessuna soluzione reale.
3. Terzo caso ≤0 studiamo il segno che assume il trinomio in questo caso. Dobbiamo eseguire i seguenti passaggi: mettiamo il coefficiente a a fattore comune, aggiungendo e togliendo b²/4a² si ha a  x² + b/a x + b²/4a² - b²/4a² + a c . Osserviamo che i primi tre termini costituiscono lo sviluppo del quadrato di un binomio, e riduciamo gli ultimi due allo stesso denominatore, si ha a [  x + b/2a ² - b²/4a² -4ac/4a² ]. Studiamo x² - 3 x - 4 ≥ 0 ; soluzioni dell’equazione associata x₁ =− 1 ∨ x₂ = 4 . Soluzioni della disequazione : x ≤ −1 ∨ x ≥ 4. x² - 3 x - 4 ≤ 0 , in questo caso le soluzioni della disequazione saranno -1 ≤ x ≤ 4. Secondo caso  = 0 in questo caso le radici dell'equazione associata sono coincidenti x₁ = x₂, pertanto il trinomio si scompone in a  x - x₁ ². Poiché a è positivo e il quadrato è positivo o al più nullo si possono verificare quattro casi: Negli esercizi che seguono si tenga allora presente che un trinomio di secondo grado, con il coefficiente di x² positivo, assume segno positivo per le x appartenenti agli intervalli esterni alle radici e valore negativo per x appartenente all'intervallo interno.

Consideriamo il trinomio t = k x² + 3 x - 7 di secondo grado avente il primo coefficiente dipendente dal parametro k. Come possiamo stabilire il segno di questo trinomio, al variare di k? Sappiamo che stabilire il segno di un trinomio significa determinare i valori reali che attribuiti alla variabile indipendente x rendono il trinomio positivo, nullo o negativo. Evidentemente per ogni valore reale di k avremo una diversa disequazione da risolvere; dobbiamo dunque cercare di analizzare come varia il trinomio a seconda dei valori di k e in seguito studiare il segno del trinomio ottenuto. Questa analisi di situazioni diverse è la discussione del trinomio a coefficienti parametrici.

Ricordiamo la DEFINIZIONE. Una disequazione è frazionaria o fratta quando il suo denominatore contiene l’incognita. Conosciamo la procedura per determinare IS di una disequazione fratta in quanto l'abbiamo applicata alle disequazioni fratte con termini di primo grado. • 5° passo: si individuano gli intervalli in cui la frazione assume il segno richiesto.

Il segno di un trinomio determina quando il trinomio è positivo, negativo o nullo. Per determinarlo si trova il valore dei coefficienti reali che rendono il trinomio positivo, negativo o nullo.

Una disequazione è definita fratta o frazionaria quando il suo denominatore contiene l'incognita.

1. Trasferire tutti i termini al primo membro dell'equazione.

2. Calcolare l'espressione al primo membro conducendo la disequazione alla forma: N(x) / D(x) [≥ | > | =]< 0

3. Studiare il segno del numeratore e del denominatore, ponendo N(x) > 0 (o ≥0) oppure N(x) < 0 (o ≤0) con D(x) > 0.

4. Costruire la tabella dei segni, segnando con un punto ingrossato gli zeri della frazione, se richiesti.

5. Individuare gli intervalli in cui la frazione assume il segno richiesto.

Attraverso alcuni esempi, vengono illustrate le procedure per determinare l'insieme soluzione di disequazioni fratte utilizzando le conoscenze acquisite nello studio delle disequazioni di secondo grado.

Il documento fornisce una panoramica completa delle disequazioni di secondo grado, che si presentano nella forma ax^2 +bx+c>=0 o ax^2 +bx+c<=0. Per risolvere queste disequazioni, il documento suggerisce di impostare l'equazione associata e determinarne il discriminante (Delta). A seconda del valore di Delta, la disequazione può avere due soluzioni reali distinte, due soluzioni reali coincidenti o nessuna soluzione reale.

Dopo aver spiegato i concetti teorici, il documento presenta due esercizi svolti per illustrare la procedura di risoluzione delle disequazioni di secondo grado. I problemi includono il calcolo di Delta, la verifica della positività o negatività del trinomio e l'identificazione dell'insieme soluzione.

Il documento si concentra sul segno di un trinomio di secondo grado con primo coefficiente dipendente da un parametro letterale (k). Vengono descritti i passaggi per determinare il segno del trinomio al variare di k, analizzando i valori che rendono il trinomio positivo, nullo o negativo.

La sezione esplora le disequazioni fratte, in cui il denominatore contiene l'incognita. Viene fornita una procedura passo-passo per determinare l'insieme soluzione di tali disequazioni, che include il controllo del segno del numeratore, del denominatore e degli eventuali valori che rendono la frazione nulla.

Il documento si conclude con una breve introduzione ai sistemi di disequazioni. Riporta che l'insieme soluzione di un sistema è l'intersezione degli insiemi soluzione delle singole disequazioni che lo compongono.