Algebra Lineare: Esercizi Risolti

Il documento inizia introducendo un sistema di equazioni lineari con tre incognite e solo due equazioni significative. Questa situazione implica l'esistenza di una variabile libera. Per risolvere il sistema, viene introdotto un parametro, ad esempio, ponendo una delle incognite (x₃) uguale a 't'. Questa sostituzione permette di esprimere le altre incognite in funzione di 't', ottenendo così infinite soluzioni. Viene anche menzionata la possibilità di ricavare l'equazione cartesiana del piano, imponendo il passaggio per tre punti. La non unicità dei valori ottenuti per a, b, c, e d nell'equazione cartesiana ax + by + cz = d è sottolineata, evidenziando il fatto che l'equazione cartesiana è determinata a meno di multipli. L'esempio evidenzia la gestione di sistemi con un numero di incognite superiore al numero di equazioni indipendenti, una situazione comune che porta alla presenza di variabili libere e infinite soluzioni, enfatizzando l'importanza di parametrizzare le soluzioni per rappresentarle completamente.

Successivamente, il testo analizza la relazione tra due rette, 'r' e 's', nello spazio. Si osserva che le rette non sono parallele in quanto i loro vettori direzione non sono proporzionali. Per determinare se le rette sono incidenti, si risolve un sistema di tre equazioni con due incognite (t e h), corrispondenti ai parametri che definiscono le rette. La soluzione del sistema fornisce le coordinate del punto di intersezione. In un altro caso, si determina che due rette, r e r₀, sono incidenti in un punto P(2, 2, 4), trovando il valore del parametro che soddisfa entrambe le equazioni. Si calcola l'angolo tra due rette sfruttando i loro vettori direzione, evidenziando come la parallelismo tra i vettori direzione implichi il parallelismo tra le rette e la loro complanarità. Si mostra come determinare il piano contenente due rette parallele trovando un vettore direzione aggiuntivo appartenente al piano stesso.

La sezione approfondisce la relazione tra rette e piani. Si discute come trovare l'equazione di un piano passante per tre punti dati, usando l'equazione cartesiana generica ax + by + cz = d e imponendo il passaggio per i tre punti. Si evidenzia la non unicità dei coefficienti a, b, c, e d. Si analizza il caso di una retta 'r' e un piano 'π₃', spiegando che la condizione di parallelismo tra la retta e il piano è equivalente all'ortogonalità tra il vettore direzione della retta e il vettore normale al piano. Il prodotto scalare tra i due vettori viene utilizzato per determinare se la retta e il piano sono paralleli o incidenti. In particolare, viene mostrato come, nel caso di un piano parametrico, la condizione di parallelismo tra retta e piano dipende dal valore di un parametro k, mettendo in luce la relazione tra la geometria analitica e l'algebra lineare nella risoluzione di problemi geometrici nello spazio tridimensionale.

Il documento descrive il metodo di Gauss, o riduzione a gradini, come tecnica per risolvere sistemi di equazioni lineari. L'obiettivo è trasformare la matrice associata al sistema in una matrice a gradini, dove sotto il primo elemento non nullo di ogni riga (il pivot) ci sono solo zeri. Si spiega come operare la riduzione, sottolineando l'importanza di evitare operazioni ridondanti usando solo le righe precedenti per modificare una riga successiva. Viene descritta la procedura passo-passo, inclusi gli scambi di righe (solo se convenienti) e la moltiplicazione di una riga per una costante non nulla. L'importanza dei pivot nella determinazione del rango della matrice è sottolineata, sebbene il concetto di rango non sia ancora formalmente introdotto in questa sezione. L'approccio suggerisce una strategia per la riduzione a gradini di sistemi parametrici, consigliando di spostare verso il basso le righe contenenti i parametri per semplificare il processo di riduzione.

Una sezione del documento si concentra sulla determinazione della dipendenza lineare di vettori nello spazio tridimensionale R³. Viene presentato un esercizio che richiede di stabilire se un vettore v₄ è combinazione lineare di altri tre vettori v₁, v₂, e v₃, in R³. Questo implica verificare se v₄ appartiene allo spazio vettoriale generato da v₁, v₂, e v₃. La soluzione prevede la risoluzione di un sistema di equazioni lineari, dove i vettori v₁, v₂, e v₃ formano la matrice dei coefficienti e v₄ il vettore dei termini noti. Un altro esempio considera due vettori in R³, v₁ e v₂, e si chiede di stabilire se sono linearmente dipendenti. La soluzione evidenzia che due vettori non nulli sono linearmente dipendenti se e solo se uno è multiplo dell'altro. Si dimostra che i vettori in questione sono linearmente indipendenti perché non sono uno multiplo dell'altro. In entrambi i casi, la soluzione si basa sull'analisi del sistema di equazioni lineari associato alla combinazione lineare dei vettori, evidenziando il legame tra la dipendenza lineare e la risolvibilità di un sistema omogeneo di equazioni lineari.

Il testo prosegue discutendo il concetto di base di uno spazio vettoriale e la sua relazione con la dimensione dello spazio. Si afferma che la dimensione di uno spazio vettoriale corrisponde al numero di elementi di una sua base. Nel caso di Rⁿ, una base deve essere composta da n elementi linearmente indipendenti. Viene descritto un metodo per determinare una base tramite la riduzione a gradini della matrice formata dai vettori. Il rango della matrice ridotta indica il numero di vettori linearmente indipendenti e quindi la dimensione dello spazio generato. Si mostra come, per quattro vettori in R³, la dipendenza lineare è garantita a priori, dato che il numero di vettori supera la dimensione dello spazio. La riduzione a gradini della matrice formata da questi vettori permette di identificare quali vettori sono linearmente dipendenti dagli altri e quindi di ricavare una base per lo spazio generato. L'analisi include il confronto tra la riduzione a gradini completa e l'utilizzo del determinante di una sottomatrice per determinare il rango e la dimensione dello spazio vettoriale.

Il documento presenta esempi più complessi che includono parametri. Si analizza un sottospazio V di R⁴ generato da tre vettori v₁, v₂, e v₃, dipendenti da un parametro k. Si chiede di determinare la dimensione di V al variare di k e di stabilire per quali valori di k un vettore v₄ appartiene a V. La soluzione prevede la riduzione a gradini della matrice formata dai vettori v₁, v₂, v₃ e v₄ (considerando v₄ come vettore dei termini noti). L'analisi del rango della matrice ridotta in funzione di k permette di determinare la dimensione di V e i valori di k per cui v₄ è una combinazione lineare di v₁, v₂, e v₃. Si mostra come, per un certo valore di k, uno dei vettori generatori diventa il vettore nullo, semplificando la determinazione della base. L'esempio evidenzia la complessità aggiuntiva introdotta dai parametri nella determinazione delle basi e delle dimensioni degli spazi vettoriali, ma anche come la riduzione a gradini possa essere efficacemente applicata a questi casi.

Un'ulteriore sezione estende il concetto di dipendenza lineare e basi a spazi di polinomi. Si osserva che ad ogni polinomio può essere associato un vettore i cui componenti sono i coefficienti del polinomio rispetto a una base fissata (ad esempio, {x², x, 1}). Si presenta un esercizio che richiede di determinare la dimensione di uno spazio generato da tre polinomi p₁, p₂, e p₃ e di esprimere un polinomio fₖ come combinazione lineare di questi. La soluzione si basa sulla trasformazione dei polinomi in vettori, permettendo l'utilizzo degli strumenti dell'algebra lineare per risolvere il problema. Si usa la riduzione a gradini della matrice formata dai vettori associati ai polinomi per determinare la dimensione dello spazio e per esprimere fₖ come combinazione lineare di p₁, p₂, e p₃. L'esercizio dimostra come concetti astratti come la dipendenza lineare e le basi di uno spazio vettoriale possano essere applicati a strutture matematiche diverse dai semplici vettori in Rⁿ, mostrando una connessione tra algebra lineare e algebra dei polinomi.

Il documento introduce il concetto di rango di una matrice, definendolo come il numero di righe (o colonne) linearmente indipendenti. Si sottolinea che il rango di una matrice non cambia dopo operazioni di riduzione a gradini. Questo fatto è cruciale per il calcolo del rango, perché permette di semplificare la matrice tramite operazioni elementari prima di contare le righe linearmente indipendenti. Il testo suggerisce l'utilizzo di un metodo misto: si procede con la riduzione a gradini, semplificando la matrice, e poi si sfruttano i determinanti di sottomatrici per determinare il rango in modo più efficiente. Si evidenzia che per matrici quadrate, il determinante è nullo se e solo se il rango è minore dell'ordine della matrice. La relazione tra il rango e il numero di pivot (elementi non nulli sulla diagonale principale di una matrice a gradini) è menzionata come metodo alternativo per il calcolo del rango, dopo la riduzione della matrice. La dimensione di uno spazio vettoriale è collegata al rango della matrice associata alla base dello spazio: n vettori in Rⁿ formano una base se e solo se la matrice da essi formata ha rango n.

Il documento introduce il Teorema di Rouché-Capelli, un risultato fondamentale per l'analisi della risolubilità di sistemi di equazioni lineari. Il teorema afferma che un sistema lineare è compatibile (cioè ammette almeno una soluzione) se e solo se il rango della matrice dei coefficienti è uguale al rango della matrice completa (matrice dei coefficienti aumentata con il vettore dei termini noti). Si specifica che il sistema ammette un'unica soluzione se il rango è uguale al numero di incognite, mentre ammette infinite soluzioni se il rango è minore del numero di incognite. Esempi nel testo mostrano come applicare questo teorema per determinare il numero di soluzioni di un sistema lineare in funzione di un parametro k. Si analizzano casi in cui il sistema ha un'unica soluzione, infinite soluzioni o nessuna soluzione, in base al valore del parametro. La comprensione del teorema è legata alla determinazione del rango della matrice dei coefficienti e della matrice completa, tramite metodi di riduzione a gradini.

Il documento illustra l'applicazione pratica del Teorema di Rouché-Capelli attraverso esempi concreti. Viene proposto un esercizio che richiede di stabilire se un vettore v è combinazione lineare di altri tre vettori v₁, v₂, v₃. Per rispondere, si costruisce la matrice completa, formata dai vettori v₁, v₂, v₃ e v, e si calcola il rango della matrice dei coefficienti e della matrice completa tramite la riduzione a gradini. Il confronto dei ranghi permette di determinare se il sistema lineare associato ammette soluzione, e quindi se v è combinazione lineare degli altri tre vettori. Si mostra l'importanza di considerare sia il rango della matrice dei coefficienti che quello della matrice completa. Un altro esempio analizza un sistema lineare parametrico, determinando il numero di soluzioni in funzione del parametro k. La riduzione a gradini della matrice associata al sistema permette di determinare per quali valori di k il rango della matrice dei coefficienti è uguale al rango della matrice completa, applicando poi il Teorema di Rouché-Capelli per determinare il numero di soluzioni del sistema.

La sezione introduce il concetto di applicazione lineare e la sua rappresentazione tramite matrici. Si afferma che ad ogni applicazione lineare T: V → W può essere associata una matrice A = M(T), le cui colonne sono le immagini degli elementi di una base di V, espresse rispetto a una base di W. Il testo specifica che, se non diversamente indicato, si considerano le basi canoniche per V e W. L'importanza di questa associazione risiede nella possibilità di rappresentare operazioni algebriche sugli spazi vettoriali V e W con operazioni matriciali sulla matrice A. Si evidenzia l'importanza di prestare attenzione al caso in cui l'applicazione lineare non sia definita sulle basi canoniche, suggerendo una maggiore attenzione nella scelta delle basi e nel calcolo della matrice associata. La matrice associata semplifica notevolmente l'analisi e il calcolo delle proprietà dell'applicazione lineare, trasformando problemi astratti in problemi di algebra matriciale.

Il documento collega le proprietà di suriettività e iniettività di un'applicazione lineare T alla dimensione dell'immagine (Im(T)) e del nucleo (N(T)) dell'applicazione. Si afferma che T è suriettiva se e solo se dim(Im(T)) = dim(W), e iniettiva se e solo se dim(N(T)) = 0. Un esempio mostra un'applicazione lineare T: R² → R⁵, per la quale si calcola la dimensione dell'immagine (dim(Im(T)) = 3) e del nucleo (dim(N(T)) = 1) tramite riduzione a gradini della matrice associata. Dal confronto tra dim(Im(T)) e dim(R⁵), e tra dim(N(T)) e 0, si conclude che l'applicazione non è né suriettiva né iniettiva. Questo esempio illustra il legame tra le proprietà algebriche dell'applicazione lineare e le proprietà geometriche del suo spazio immagine e del suo nucleo, mostrando come l'algebra lineare fornisce gli strumenti per analizzare queste proprietà.

Una parte del testo si focalizza sulla determinazione dell'immagine di un'applicazione lineare. Si spiega che l'immagine Im(T) è il sottospazio di W generato dalle immagini dei vettori di una base di V. In pratica, si determina una base per Im(T) attraverso la riduzione a gradini della matrice associata all'applicazione lineare. Le colonne linearmente indipendenti della matrice ridotta forniscono una base per Im(T). Un esempio mostra come, tramite la riduzione a gradini, si possa trovare una base per l'immagine di un'applicazione lineare. Si dimostra che l'immagine è generata da due vettori linearmente indipendenti, determinando così la dimensione dell'immagine e una sua base. Si conclude che un vettore vₖ appartiene all'immagine se e solo se il sistema lineare associato all'applicazione lineare è compatibile, mostrando come il concetto di compatibilità di un sistema sia legato all'appartenenza di un vettore all'immagine dell'applicazione lineare. Questo evidenzia la stretta relazione tra sistemi di equazioni lineari, matrici e applicazioni lineari.