Logica Matematica: Proposizioni

La sezione introduce il concetto fondamentale di proposizione in logica matematica, sottolineando la necessità di un linguaggio non ambiguo. Vengono presentati esempi di proposizioni semplici, come "Roma è la capitale d'Italia", "5 è un numero pari", e "I gatti sono mammiferi", distinguendole da proposizioni composte o molecolari, come "6 è un numero pari e non è divisibile per 5". Si evidenzia la differenza tra proposizioni semplici e enunciati aperti, come "X è un numero naturale maggiore di 7", dove la presenza di una variabile (X) rende l'enunciato né vero né falso fino a quando non si assegna un valore alla variabile. Questa distinzione è cruciale per comprendere la base della logica proposizionale e la costruzione di argomentazioni più complesse.

Questa parte del documento si concentra sui tre connettivi logici fondamentali: la negazione, la congiunzione e la disgiunzione. La negazione ("non") inverte il valore di verità di una proposizione; ad esempio, se p rappresenta "oggi c'è il sole", ¬p rappresenta "oggi non c'è il sole". La congiunzione ("e"), rappresentata dal simbolo ∧, crea una proposizione composta vera solo se entrambe le proposizioni connesse sono vere. La disgiunzione ("o"), rappresentata da ∨, crea una proposizione composta falsa solo se entrambe le proposizioni connesse sono false; in tutti gli altri casi è vera (disgiunzione inclusiva). L'introduzione di questi connettivi permette la costruzione di proposizioni composte più elaborate, aprendo la strada all'analisi delle loro tavole di verità e delle relazioni logiche tra esse.

Si introduce il concetto di proposizioni logicamente equivalenti, definite come proposizioni che hanno le stesse tavole di verità. Questo concetto è fondamentale per semplificare espressioni logiche e dimostrare l'equivalenza tra diverse formulazioni. Vengono presentate le Leggi di De Morgan, che stabiliscono l'equivalenza tra la negazione di una congiunzione e la disgiunzione delle negazioni, e viceversa. Queste leggi, espresse come ¬(p ∧ q) ≡ (¬p ∨ ¬q) e ¬(p ∨ q) ≡ (¬p ∧ ¬q), sono strumenti essenziali per la manipolazione di formule logiche e la semplificazione di espressioni complesse. L'applicazione delle Leggi di De Morgan consente di trasformare espressioni logiche in forme equivalenti ma più semplici da analizzare o da utilizzare in dimostrazioni.

Le tavole di verità sono introdotte come strumento fondamentale per determinare il valore di verità di proposizioni composte in funzione del valore di verità delle proposizioni elementari. Attraverso esempi concreti, il testo illustra come costruire e interpretare le tavole di verità per la negazione, la congiunzione, la disgiunzione, l'implicazione e la doppia implicazione. La costruzione di una tavola di verità per una proposizione composta inizia con l'elencare tutte le possibili combinazioni di valori di verità delle proposizioni elementari e poi, applicando le definizioni dei connettivi, si determina il valore di verità della proposizione composta per ogni combinazione. Le tavole di verità sono uno strumento essenziale per verificare l'equivalenza logica tra proposizioni e per analizzare la validità di argomentazioni logiche.

Questa sezione introduce le Leggi di De Morgan, fondamentali per la manipolazione di espressioni logiche. La prima legge afferma che la negazione di una congiunzione è equivalente alla disgiunzione delle negazioni: ¬(p ∧ q) ≡ (¬p ∨ ¬q). In parole semplici, se non è vero che sia p che q sono vere, allora o p è falsa o q è falsa (o entrambe). La seconda legge afferma che la negazione di una disgiunzione è equivalente alla congiunzione delle negazioni: ¬(p ∨ q) ≡ (¬p ∧ ¬q). Questo significa che se non è vero che p o q siano vere, allora sia p che q devono essere false. Queste leggi sono strumenti potenti per semplificare espressioni logiche complesse e per dimostrare l'equivalenza tra diverse formulazioni di una stessa proposizione. La comprensione delle Leggi di De Morgan è essenziale per padroneggiare la logica proposizionale e per affrontare problemi di ragionamento più avanzati.

Oltre alle Leggi di De Morgan, il documento esplora altre proprietà importanti dei connettivi logici. Viene presentata la legge della doppia negazione, che afferma che la negazione della negazione di una proposizione è equivalente alla proposizione stessa: ¬(¬p) ≡ p. Questa proprietà evidenzia l'involutività della negazione. Si discutono inoltre le proprietà di idempotenza per la congiunzione e la disgiunzione. La proprietà di idempotenza della congiunzione indica che p ∧ p ≡ p, significando che la congiunzione di una proposizione con se stessa è equivalente alla proposizione stessa. Analogamente, la proprietà di idempotenza della disgiunzione afferma che p ∨ p ≡ p. Queste proprietà, apparentemente semplici, sono essenziali per semplificare espressioni logiche e per dimostrare l'equivalenza tra diverse formulazioni di proposizioni. La comprensione di queste proprietà contribuisce alla capacità di manipolazione e semplificazione delle formule logiche.

La sezione definisce l'implicazione logica, rappresentata dal simbolo ⟹, come un connettivo che lega due proposizioni, p e q, formando la proposizione composta "se p, allora q". Si sottolinea che l'implicazione è falsa solo nel caso in cui la premessa (p) sia vera e la conclusione (q) sia falsa; in tutti gli altri casi, l'implicazione è vera. Viene fornito un esempio con le proposizioni: p: Milano è una città italiana; q: Milano è una città europea. L'implicazione p ⟹ q ("Se Milano è una città italiana, allora è una città europea") è vera. Si evidenzia che la verità dell'implicazione non implica necessariamente una relazione causale tra p e q. La sezione introduce anche il concetto di inversa di un'implicazione (q ⟹ p), sottolineando che la verità dell'implicazione non garantisce la verità della sua inversa. Si spiega che confrontando le tavole di verità si può osservare l'equivalenza logica tra p ⟹ q e ¬p ∨ q.

Il documento prosegue introducendo la doppia implicazione, rappresentata dal simbolo ⟺, che significa "se e solo se". Questa relazione è vera solo se entrambe le proposizioni, p e q, hanno lo stesso valore di verità (entrambe vere o entrambe false). La proposizione p ⟺ q è equivalente a (p ⟹ q) ∧ (q ⟹ p), indicando che la doppia implicazione implica sia l'implicazione diretta che la sua inversa. Si forniscono diversi modi di esprimere la doppia implicazione, come "p se e solo se q", "p equivale a q", "se p allora q e viceversa", e "p è condizione necessaria e sufficiente per q". Viene illustrato un esempio con la proposizione: "un triangolo è equilatero se e solo se ha tutti gli angoli congruenti", spiegando che la condizione di essere equilatero è sia necessaria che sufficiente per avere tutti gli angoli congruenti. La sezione sottolinea l'importanza della doppia implicazione per esprimere relazioni di equivalenza tra proposizioni.

La sezione affronta la negazione dell'implicazione, mostrando come negarla correttamente. Si spiega che la negazione di "se p, allora q" non è "se non p, allora non q", ma piuttosto p ∧ ¬q ("p è vera e q è falsa"). Questo viene spiegato con un esempio pratico: negare la proposizione "se esco presto dal lavoro, vengo a cena da te". La negazione corretta è "esco presto dal lavoro e non vengo a cena da te". Questa parte evidenzia la sottile differenza tra implicazione e negazione dell'implicazione, sottolineando la necessità di una corretta comprensione dei connettivi logici per evitare errori nel ragionamento. La corretta negazione dell'implicazione è fondamentale per costruire argomentazioni logiche valide e per evitare ragionamenti fallaci.

Questa sezione introduce i concetti di tautologia e contraddizione in logica proposizionale. Una tautologia è una proposizione composta che risulta sempre vera, indipendentemente dai valori di verità delle proposizioni elementari che la compongono. Un esempio potrebbe essere una proposizione come p ∨ ¬p (p o non p), che è sempre vera perché una proposizione è sempre o vera o falsa. Al contrario, una contraddizione è una proposizione composta che risulta sempre falsa, indipendentemente dai valori di verità delle proposizioni elementari. Un esempio di contraddizione potrebbe essere p ∧ ¬p (p e non p), che è sempre falsa perché una proposizione non può essere contemporaneamente vera e falsa. La distinzione tra tautologie e contraddizioni è fondamentale per l'analisi della validità di argomentazioni e per la semplificazione di espressioni logiche complesse. L'identificazione di tautologie e contraddizioni consente di semplificare le espressioni logiche e di evitare errori di ragionamento.

La sezione si concentra sulle regole di deduzione, definendole come procedimenti che permettono di derivare conclusioni valide da premesse date. Una regola di deduzione è valida se porta a una deduzione corretta indipendentemente dai valori di verità delle proposizioni coinvolte. Il testo cita come esempio la legge del sillogismo ipotetico, che illustra come, date le premesse "Se A, allora B" e "Se B, allora C", si possa dedurre validamente la conclusione "Se A, allora C". Viene inoltre menzionato il modus ponens, un'altra importante regola di inferenza. Il modus ponens afferma che, date le premesse "p" e "se p, allora q", si può dedurre validamente la conclusione "q". Queste regole sono fondamentali per la costruzione di argomentazioni logiche corrette e per la dimostrazione di teoremi in diversi campi della matematica e della logica. La comprensione di queste regole è essenziale per un corretto ragionamento deduttivo.

La sezione introduce i quantificatori, strumenti fondamentali per estendere la logica proposizionale. Il quantificatore universale (∀) indica che una certa proprietà è vera per tutti gli elementi di un insieme. Ad esempio, ∀x (x è un numero pari ⟹ x è divisibile per 2) significa che tutti i numeri pari sono divisibili per 2. Il quantificatore esistenziale (∃) indica che esiste almeno un elemento di un insieme che soddisfa una certa proprietà. Ad esempio, ∃x (x è un numero primo maggiore di 100) afferma che esiste almeno un numero primo maggiore di 100. I quantificatori permettono di esprimere affermazioni su insiemi di oggetti, ampliando notevolmente le capacità espressive della logica e rendendo possibile la formalizzazione di ragionamenti più complessi. L'uso corretto dei quantificatori è essenziale per evitare ambiguità e per costruire argomentazioni rigorose.

Il documento definisce il sillogismo come una forma di ragionamento deduttivo costituita da due premesse e una conclusione. Vengono presentati esempi di sillogismi, alcuni semplici e altri più complessi, per illustrare come si può derivare una conclusione valida da premesse date. Un esempio semplice è: "Tutti i cani sono fedeli. Igor è fedele. Quindi Igor potrebbe essere un cane." Si evidenzia che questo sillogismo non segue lo schema A=B e B=C, ma uno schema diverso. Vengono anche discussi sillogismi più complessi e potenzialmente ambigui, come "Tutti i condottieri sono valorosi, nessun valoroso è dissimulatore; dunque nessun dissimulatore è condottiero." L'analisi dei sillogismi richiede attenzione alla struttura del ragionamento e alla corretta interpretazione delle premesse per arrivare a conclusioni valide. La sezione sottolinea l'importanza di individuare la struttura logica del sillogismo per valutare la validità della conclusione.

La sezione distingue tra diverse forme di sillogismi, come la forma universale affermativa ("Tutti i P sono Q"), la forma particolare affermativa ("Alcuni P sono Q"), e la forma particolare negativa ("Alcuni P non sono Q"). Queste diverse forme rappresentano diverse relazioni tra insiemi e richiedono una comprensione dettagliata per la corretta valutazione della validità di un sillogismo. Vengono proposti esercizi per mettere in pratica la capacità di analizzare e risolvere i sillogismi, sollecitando il lettore a identificare la conclusione corretta date delle premesse specifiche. Gli esercizi includono esempi di sillogismi più capziosi, che richiedono un'analisi più attenta per evitare errori di ragionamento. La risoluzione di questi esercizi aiuta a consolidare la comprensione della struttura e della logica dei sillogismi.

La sezione traccia le origini della logica, attribuendone la prima formulazione scientifica ad Aristotele. Il testo evidenzia che Aristotele esaminò concetti, categorie, proposizioni, termini e sillogismi, ponendo le basi della logica come scienza propedeutica a ogni conoscenza. Questo contributo storico è fondamentale per comprendere l'evoluzione del pensiero logico e il suo ruolo nello sviluppo di altre discipline. L'opera di Aristotele ha gettato le fondamenta per secoli di studi sulla logica, influenzando profondamente il modo in cui si ragionava e si strutturavano le argomentazioni. La sua sistematizzazione del sillogismo, ad esempio, ha avuto un impatto duraturo sullo sviluppo della logica formale.

Riprendendo i temi aristotelici, René Descartes cercò di stabilire se il rigore tipico del discorso matematico potesse essere applicato a qualsiasi campo del sapere, inclusa la filosofia. Questa ricerca di fondamenti solidi per la conoscenza ha rappresentato un passo importante nell'evoluzione del pensiero scientifico e filosofico. Descartes, con la sua enfasi sul metodo e sul dubbio sistematico, ha contribuito a porre le basi per una maggiore precisione e rigore nell'approccio alla conoscenza. La sua influenza è evidente nel tentativo di applicare principi matematici alla logica e alla filosofia, cercando di stabilire un metodo certo per la ricerca della verità.

Nel Settecento, Immanuel Kant, nella sua Critica della ragion pura, definì la logica trascendentale. Questa si distingue dalla logica generale in quanto si concentra sulla possibilità e sulle modalità con cui la conoscenza si riferisce ai concetti empirici. Kant ha contribuito a ridefinire il ruolo della logica all'interno del sistema conoscitivo, distinguendo tra la logica formale, che studia le forme del pensiero, e la logica trascendentale, che si concentra sulle condizioni a priori della conoscenza. Questo approccio ha segnato un ulteriore passo nell'evoluzione della logica, mostrando come questa disciplina sia strettamente legata alle questioni epistemologiche, ovvero alla natura della conoscenza stessa.

La sezione conclude con una riflessione sull'evoluzione della logica in relazione alla fisica moderna, in particolare alla meccanica quantistica. Si evidenzia il passaggio da una logica aristotelica, o del terzo escluso (una proposizione è o vera o falsa), a una logica più complessa che include la possibilità di situazioni non riconducibili a questa dicotomia. Questo cambiamento riflette l'influenza di nuove scoperte scientifiche sulla concezione stessa della logica e del ragionamento. L'accettazione del principio di complementare contraddittorietà, al posto del principio di non contraddizione, indica un'apertura verso una logica più sfumata e in grado di affrontare le complessità della realtà fisica moderna. Questo suggerisce come lo sviluppo della logica sia influenzato e, a sua volta, influenzi lo sviluppo di altre discipline scientifiche.