GEOMETRIA RAZIONALE - NOZIONI FONDAMENTALI

La parola geometria nel tempo è stata influenzata dagli antichi matematici greci, nella seconda metà dell’Ottocento dai matematici e filosofi iniziarono a considerarla come una scienza che descriveva in maniera razionale le proprietà dello spazio. Tale legame tra fisica e matematica non si è mai rotto.

Bisogna tenere in considerazione che una proposizione può essere logica in un dato sistema e non esserlo in un altro. Per esempio, la proposizione “Questo bullone è grande” in genere non è logica ma se sappiamo che il metro di riferimento è un determinato dado allora acquisisce valore logico perché si può stabilire se quel bullone è troppo grande o no.

La geometria fin dai tempi di Euclide è stata organizzata assiomaticamente, partendo, cioè dalla fondamenta. Nella matematica queste fondamenta sono costituite dai concetti primitivi e dagli assiomi. Gli enti primitivi sono le nozioni che si decide di non definire.

Aristotele fa uso dei predicati e dei quantificatori, per cui ripren- diamo l’Esempio 3 e vediamo di tradurre la frase “Tutti i quadrati hanno due diagonali” e la sua negazione “Non tutti i quadrati hanno due diagonali” in formule che fanno uso anche del linguaggio degli insiemi.

La geometria nasce come studio sistematico dello spazio fisico e delle forme che in esso si muovono.

Le nozioni geometriche come quelle di punto, retta, rettangolo, cubo, sfera... non trovano un perfetto riscontro nella realtà fisica. Nello spazio fisico non esistono, infatti, punti e rette come li descrive la geometria, né figure a due sole dimensioni, né cubi o sfere perfette.

La geometria si propone quindi di fornire un ‘modello’ ideale della realtà fisica per ciò che riguarda le forme degli oggetti e le proprietà dello spazio in cui sono immersi.

La geometria, sin dai tempi di Euclide, è stata organizzata assiomaticamente, partendo cioè dalla fondamen- ta. Nella matematica queste fondamenta sono costituite dai concetti primitivi e dagli assiomi. Gli enti primi- tivi sono le nozioni che si decide di non definire.

È fondamentale esprimere le loro proprietà esclusivamente attraverso assiomi, cioè attraverso proprietà non dimostrabili che indicano però come gli enti primitivi devono e possono es- sere usati.

A partire dagli enti primitivi si danno e fanno derivare tutte le definizioni degli enti geometrici.

Un postulato, o assioma, è una proposizione, spesso intuitiva, evidente ma non dimostrata, ammessa come vera in quanto necessaria per costruire poi le dimostrazioni dei teoremi.

Secondo il punto di vista del matematico tedesco Felix Klein (1848-1925), la geometria è lo studio delle pro- prietà delle figure che sono invarianti rispetto a certe trasformazioni. Nello studio della geometria euclidea, quella che tratteremo in questo Tema, ci occupiamo delle proprietà delle figure geometriche invarianti rispet- to ai movimenti rigidi, cioè rispetto a quei movimenti che conservano forma e dimensioni delle figure.

Queste trasformazioni vengono anche dette isometrie (si intuisce dalla radice etimologica che si parla di stessa misura): significa che viene stabilita una corrispondenza biunivoca tra i punti di due figure congruenti in modo da “mantenere” le distanze.

Il processo di misurazione è analogo a tutti i campi di applicazioni: si tratta di trovare un modo per assegnare a una grandezza un numero. Questo numero si ottiene confrontando due grandezze dello stesso tipo

La definizione di misura è alla base delle applicazioni del calcolo matematico non solo alla geometria ma anche alla fisica e alla tecnologia in generale.

La nozione di misura è alla base delle applicazioni del calcolo matematico non solo alla geometria ma anche alla fisica e alla tecnologia in generale. Il processo di misura- zione è analogo a tutti i campi di applicazioni: si tratta di trovare un modo per assegnare a una grandezza un numero. Questo numero si ottiene confrontando due grandezze dello stesso tipo.

La misura di un arco va fatta con una modalità differente rispetto a quella utilizzata per la misura dei segmenti.

Ricordando che il rapporto tra la misura della circonferenza ed il raggio vale 2π, dove π è il numero irrazionale 3,1415… (i puntini indicano che la parte decimale è infinita e non periodica), possiamo intuire che il valore dell’angolo giro (360°), corrispondente ad un arco che coincide con l’intera circonferenza, vale 2π radianti.

DEFINIZIONE. Un poligono si dice poligono convesso se è una figura convessa, cioè se il segmento che ha per estremi due suoi punti qualsiasi è interamente contenuto nel poligono, si dice concavo se non è convesso, cioè se esistono almeno due punti per i quali il segmento che li unisce non è contenuto interamente nel poli- gono.

Nella geometria, si parte da tre concetti primitivi: punto, retta e piano. Questi concetti non sono definiti, poiché non è possibile definire tutto senza ricorrere ad altre nozioni che a loro volta dovrebbero essere definite, creando un processo senza fine. Quindi, questi concetti sono implicitamente definiti attraverso le loro proprietà e il modo in cui possono essere usati.

Gli assiomi sono proposizioni evidenti che non richiedono dimostrazione. Vengono utilizzati come base per costruire le dimostrazioni dei teoremi. Euclide identificò cinque assiomi noti come assiomi comuni e cinque postulati specifici per la geometria. Hilbert assunse come enti primitivi il punto e la retta e definì tre relazioni primitive: giacere su, stare fra e essere congruente a.

• Felix Klein definisce la geometria come lo studio delle proprietà delle figure che sono invarianti rispetto a certe trasformazioni.

• Tale trasformazione che conserva forma e dimensione delle figure prende il nome di isometria.

• In particolare, I movimenti rigidi sono isometrie.

• Dati due figure F e G, F ≅ G ⇔ Esiste un movimento rigido che le sovrappone perfettamente.

Si definisce misura della lunghezza di un segmento come il numero reale positivo 'r' tale che 'AB = r * u', dove 'u' è un segmento preso come unità di misura. La misurazione di segmenti nella realtà fisica viene effettuata utilizzando il metro ('m') e i suoi multipli o sottomultipli. All'interno della geometria, invece, si adotta un segmento di 'un metro' come unità di misura.

Nella storia della matematica, lo studio della diagonale di un quadrato rispetto al suo lato ha portato alla scoperta dei numeri irrazionali, come '2' e 'π', che rappresentano lunghezze incommensurabili secondo il teorema di Pitagora. I numeri irrazionali sono numeri che non possono essere espressi come rapporto di numeri interi.

Per misurare gli angoli si utilizzano diverse unità di misura: gradi sessagesimali ('DEG'), gradi centesimali ('GRAD') e radianti ('RAD'). Il radiante è particolarmente utile in trigonometria e analisi matematica e rappresenta un angolo al centro di una circonferenza in cui l'arco individuato è uguale al raggio della stessa circonferenza.

La misurazione degli archi viene effettuata utilizzando un metro flessibile. Il rapporto tra la misura della circonferenza e il raggio è dato da '2π', dove 'π' è il numero irrazionale '3,1415...'. Di conseguenza, l'angolo giro (360°) corrisponde a '2π' radianti.

La parola geometria deriva dal greco antico γεωµετρία, composta da γεω (geo) che significa "terra" e da µετρία (metria) che significa "misura", che tradotto alla lettera significa “misura della terra”. Secondo una tradizione storica, durante il VI secolo a.C. alcuni matematici e pensatori greci (principalmente Talete e Pitagora) cominciarono a organizzare in maniera razionale (secondo il susseguirsi di ragionamenti logici) le conoscenze geometriche che egiziani e babilonesi avevano raggiunto nei secoli precedenti.

Fino alla seconda metà dell’Ottocento, matematici e filosofi sono stati sostanzialmente d’accordo nel considerare la geometria come la scienza che descriveva razionalmente le proprietà dello spazio fisico.

Un postulato, o assioma, è una proposizione, spesso intuitiva, evidente ma non dimostrata, ammessa come vera in quanto necessaria per costruire poi le dimostrazioni dei teoremi. Euclide nei suoi Elementi aveva individuato un gruppo di cinque assiomi, che riguardano le nozioni comuni e quindi non fanno riferimento alla geometria, e un gruppo di cinque postulati che riguardano proprietà geometriche.

Nella Premessa a questo paragrafo abbiamo dato un’idea intuitiva e sperimentale del concetto di congruenza. Ma per esplicitarlo matematicamente dobbiamo utilizzare gli assiomi di congruenza di Hilbert che abbiamo enunciato nel Capitolo 1 Paragrafo 2.

Si dice lunghezza di un segmento AB l’insieme di tutti i segmenti congruenti ad AB. Si dice distanza tra due punti A e B il segmento AB di estremi A e B.

Osservando i tasti di una calcolatrice scientifica, si può vedere che ci sono tre sistemi principali le cui unità sono rispettivamente il grado sessagesimale (DEG), il grado centesimale (GRAD) e il radiante (RAD).

DEFINIZIONE. Un poligono si dice poligono convesso se è una figura convessa, cioè se il segmento che ha per estremi due suoi punti qualsiasi è interamente contenuto nel poligono, si dice concavo se non è convesso, cioè se esistono almeno due punti per i quali il segmento che li unisce non è contenuto interamente nel poligono.

In geometria, le rette parallele sono rette che giacciono sullo stesso piano e non si intersecano mai, mentre le rette perpendicolari sono rette che giacciono sullo stesso piano e si intersecano in un punto formando un angolo retto (90 gradi). Questa sezione non è presente nel documento.

Il termine geometria deriva dal greco antico γεωµετρία, composto da γεω (geo) che significa "terra" e da µετρία (metria) che significa "misura", che tradotto alla lettera significa “misura della terra”. Secondo una tradizione storica, durante il VI secolo a.C. alcuni matematici e pensatori greci (principalmente Talete e Pita- gora) cominciarono a organizzare in maniera razionale (secondo il susseguirsi di ragionamenti logici) le co- noscenze geometriche che egiziani e babilonesi avevano raggiunto nei secoli precedenti.

La geometria nasce come studio sistematico dello spazio fisico e delle forme che in esso si muovono. Lo spazio in cui ci muoviamo è per tutti una delle prime esperienze che facciamo a partire fin dai primi mesi di vita. I nostri sensi determinano le sensazioni che ci permettono di riconoscere le forme degli oggetti e i loro movimenti. Tuttavia le nozioni geometriche come quelle di punto, retta, rettangolo, cubo, sfera... non trovano un perfetto riscontro nella realtà fisica. Nello spazio fisico non esistono, infatti, punti e rette come li descrive la geometria, né figure a due sole dimensioni, né cubi o sfere perfette. La geometria si propone quindi di fornire un ‘modello’ ideale della realtà fisica per ciò che riguarda le forme degli oggetti e le proprietà dello spa- zio in cui sono immersi.

La geometria, sin dai tempi di Euclide, è stata organizzata assiomaticamente, partendo cioè dalla fondamen- ta. Nella matematica queste fondamenta sono costituite dai concetti primitivi e dagli assiomi. Gli enti primi- tivi sono le nozioni che si decide di non definire.

In geometria, usiamo il termine ‘uguale’ per indicare due figure coincidenti nella forma e nella posizione. In altre parole due figure sono uguali solo se sono esattamente la stessa figura. Tuttavia, in geometria siamo in- teressati a studiare soprattutto figure che senza essere del tutto identiche hanno delle caratteristiche in comu- ne. Vediamo prima degli esempi intuitivi e successivamente tratteremo lo stesso tema ma in modo formal- mente corretto.

Il Teorema di Pitagora è uno dei teoremi più famosi e importanti della geometria. Afferma che, in un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.

Il Teorema di Pitagora è stato scoperto da Pitagora, un matematico greco, nel VI secolo a.C.. Si dice che Pitagora abbia scoperto il teorema dopo aver condotto numerosi esperimenti con triangoli rettangoli. Si dice anche che abbia sacrificato un bue agli dei per celebrare la sua scoperta.

Il Teorema di Pitagora ha numerose applicazioni nel mondo reale. Ad esempio, può essere utilizzato per calcolare l’altezza di un edificio, la distanza tra due punti o l’area di un triangolo rettangolo.

Ci sono molti modi diversi per dimostrare il Teorema di Pitagora. Uno dei modi più comuni è utilizzare il cosiddetto “metodo di sottrazione”.

Il metodo di sottrazione funziona sottraendo l’area del quadrato costruito sul cateto più corto dall’area del quadrato costruito sull’ipotenusa. Il risultato sarà l’area del quadrato costruito sul cateto più lungo.

Un altro modo per dimostrare il Teorema di Pitagora è utilizzare il cosiddetto “metodo della decomposizione”. Il metodo della decomposizione funziona scomponendo il triangolo rettangolo in due triangoli rettangoli più piccoli. L’area di ciascun triangolo rettangolo più piccolo può quindi essere utilizzata per calcolare l’area del triangolo rettangolo originale.

Il Teorema di Pitagora può anche essere dimostrato utilizzando la trigonometria. La trigonometria è la branca della matematica che studia le relazioni tra i lati e gli angoli dei triangoli.

Il Teorema di Pitagora ha numerose applicazioni nel mondo reale. Ad esempio, può essere utilizzato per:

• Calcolare l’altezza di un edificio
• Calcolare la distanza tra due punti
• Calcolare l’area di un triangolo rettangolo
• Risolvere problemi di geometria

Il Teorema di Pitagora è uno strumento potente che può essere utilizzato per risolvere una vasta gamma di problemi.