Algebra Lineare: Esercizi Risolti

Il primo esercizio introduce il concetto di sottospazio vettoriale. Si richiede di scrivere l'elemento generico di un sottospazio S di M_2,2(ℝ) e, nel caso S sia un sottospazio, di determinarne una base. Successivamente, dato un sottospazio A di M_2,2(ℝ) costituito da matrici antisimmetriche, si chiede di determinare l'elemento generico dell'intersezione A ∩ S. Questo implica una comprensione profonda delle operazioni tra matrici e delle proprietà dei sottospazi vettoriali. La determinazione di una base richiede la capacità di individuare un insieme di vettori linearmente indipendenti che generano l'intero sottospazio. L'intersezione A ∩ S rappresenta i vettori che appartengono simultaneamente ad entrambi i sottospazi, richiedendo una comprensione delle operazioni insiemistiche nel contesto vettoriale.

Il secondo esercizio si concentra su un'applicazione lineare L_A: ℝ³ → ℝ⁴, definita da una formula che include un parametro k. Si chiede di determinare la matrice A associata a questa applicazione lineare rispetto alle basi canoniche di ℝ³ e ℝ⁴. Questo richiede la comprensione del legame tra l'applicazione lineare e la sua matrice rappresentativa. Successivamente, l'esercizio analizza le soluzioni del sistema lineare associato all'applicazione, indagando i valori di k per cui il sistema ammette una e una sola soluzione, nessun soluzione e infinite soluzioni. Questa parte dell'esercizio coinvolge concetti chiave come il rango della matrice, la sua relazione con la dimensione del nucleo e dell'immagine, e il teorema di Rouché-Capelli. La comprensione del teorema di Rouché-Capelli è fondamentale per determinare il numero di soluzioni di un sistema lineare in base al rango della matrice completa e della matrice incompleta.

L'esercizio prosegue esaminando ulteriori proprietà dell'applicazione lineare L_A. Si richiede di trovare i valori di k per cui L_A è surgettiva (cioè l'immagine coincide con lo spazio di arrivo), e quelli per cui la dimensione del nucleo (ker L_A) è uguale a 1, determinando in quest'ultimo caso una base per l'immagine (Im L_A). Questi punti richiedono la comprensione del teorema del rango (o teorema delle dimensioni), che lega la dimensione del nucleo e dell'immagine di un'applicazione lineare alla dimensione dello spazio di partenza e di arrivo. Infine si chiede di determinare i valori di k per cui un certo vettore appartiene all'immagine di L_A. Questo richiede la capacità di verificare se un vettore dato può essere espresso come combinazione lineare delle colonne della matrice rappresentativa dell'applicazione lineare.

Altri esercizi nel documento presentano sistemi lineari con parametri (k, h, a, b), richiedendo l'analisi delle condizioni per l'esistenza e l'unicità delle soluzioni. Questo implica la capacità di manipolare sistemi lineari, utilizzando tecniche come la riduzione a scala o il calcolo dei determinanti per determinare il rango della matrice associata al sistema. La comprensione del teorema di Rouché-Capelli è fondamentale per determinare se il sistema è compatibile (ammette soluzioni) e, in caso affermativo, se la soluzione è unica o se ne esistono infinite. La presenza dei parametri introduce un livello di complessità maggiore, richiedendo l'analisi del comportamento del sistema al variare dei parametri.

Diversi esercizi presentano applicazioni lineari L_A' definite da matrici complete (A') associate a sistemi lineari. Si chiede di determinare la dimensione dell'immagine e del nucleo di queste applicazioni lineari, al variare dei parametri. Questo richiede la comprensione del legame tra le proprietà dell'applicazione lineare e le proprietà della sua matrice rappresentativa. In particolare, si utilizzano concetti come rango, nucleo e immagine per analizzare le proprietà dell'applicazione lineare. La determinazione della dimensione dell'immagine e del nucleo richiede la comprensione del teorema del rango e la capacità di calcolare il rango di una matrice, possibilmente attraverso operazioni elementari sulle righe o sulle colonne.

La sezione di geometria analitica inizia con la determinazione di equazioni di piani e rette nello spazio. Un esercizio richiede di scrivere l'equazione cartesiana di un piano α passante per un punto dato A=(1,0,1) e contenente una retta r. Questo implica la capacità di utilizzare le informazioni geometriche (punto e retta) per ricavare l'equazione algebrica del piano. Un altro esercizio si concentra sulla scrittura dell'equazione cartesiana di un piano π contenente rette r_P passanti per un punto P=(3,-1,1) e parallele ad un piano α precedentemente definito. La soluzione richiede la comprensione delle relazioni tra piani paralleli e rette nello spazio tridimensionale, e la capacità di applicare le formule e le proprietà geometriche per determinare l'equazione del piano π.

Un esercizio cruciale riguarda la determinazione dell'equazione cartesiana di una sfera tangente ad un piano α in un punto A. Questo richiede una comprensione profonda delle proprietà geometriche delle sfere e delle loro relazioni con i piani tangenti. La formula per l'equazione di una sfera è legata alla distanza tra il centro della sfera e il piano tangente. Successivamente, si chiede di individuare, tra le sfere tangenti al piano α in A, quella che è anche tangente ad un altro piano π. Questo implica un'ulteriore analisi geometrica e la soluzione di un sistema di equazioni per determinare le caratteristiche della sfera S. Infine, l'esercizio richiede di trovare l'equazione della retta tangente alla sfera S, ulteriore approfondimento delle relazioni geometriche nello spazio tridimensionale.

Un altro problema richiede di determinare una rappresentazione cartesiana del luogo dei punti nello spazio che appartengono ad un piano π e hanno una distanza fissa (5) da un punto Q=(2,2,-2). Questo richiede una comprensione delle formule per il calcolo della distanza tra punti nello spazio e la capacità di trasformare una condizione geometrica in un'equazione cartesiana. La soluzione richiede di applicare la formula della distanza tra un punto e un piano, combinandola con l'equazione del piano π per ottenere l'equazione del luogo geometrico richiesto. L'interpretazione geometrica del risultato è altrettanto importante per comprendere la natura della figura ottenuta.

Un esercizio introduce il concetto di autovettore nel contesto di una matrice A. Si chiede di trovare i valori del parametro reale k tali che un dato vettore (3+2k, -k+1, 1)^T sia un autovettore di A. Questo implica la comprensione della definizione di autovettore e autovalore e la capacità di risolvere un sistema di equazioni lineari per trovare i valori di k che soddisfano la condizione. In un altro esercizio, si deve determinare l'equazione di una sfera tangente a un piano in un punto dato e passante per un altro punto. Questo problema richiede la conoscenza delle equazioni delle sfere e dei piani e la capacità di utilizzare le condizioni di tangenza per determinare i parametri dell'equazione della sfera.

Un esercizio richiede la determinazione dell'equazione di una parabola date specifiche condizioni: la retta x - y - 1 = 0 come diametro, la retta 3x - y - 3 = 0 come tangente nel punto T(1,0), e il passaggio per il punto P(4,0). La soluzione implica la conoscenza della forma generale dell'equazione di una parabola e la capacità di utilizzare le informazioni geometriche fornite (diametro, tangente, punto) per determinare i coefficienti dell'equazione. Questo richiede la capacità di tradurre le informazioni geometriche in un sistema di equazioni algebriche risolvibile per i coefficienti dell'equazione della parabola. Successivamente, si richiede di determinare l'equazione dell'asse di simmetria di questa parabola, utilizzando le proprietà geometriche della parabola e le informazioni ricavate precedentemente.

Un esercizio si concentra su un fascio di coniche F, caratterizzato dalla retta y=1 coniugata al punto improprio dell'asse delle y e dalla retta 2x + y - 2 = 0 tangente in T(0,2). Si chiede di verificare la veridicità di alcune affermazioni riguardanti il fascio F, come l'esistenza di coniche con un asse specifico o un centro specifico. Questo richiede la comprensione delle proprietà dei fasci di coniche, delle loro equazioni, e la capacità di verificare se determinate condizioni geometriche (asse, centro, tangenza) sono soddisfatte da coniche appartenenti al fascio. La soluzione coinvolge l'analisi delle equazioni delle coniche nel fascio e la verifica delle proprietà geometriche richieste. Si richiede anche di determinare l'equazione dell'iperbole equilatera del fascio F, richiedendo ulteriori calcoli e la comprensione della definizione di iperbole equilatera.

Un altro esercizio approfondisce l'analisi di un fascio di coniche F, questa volta generato da due coniche γ₁: x² + y² - 2 = 0 e γ₂: xy = 1. Si richiede di determinare i punti base e le coniche degeneri del fascio. I punti base sono i punti di intersezione delle due coniche generatrici, che possono essere calcolati risolvendo il sistema di equazioni che definiscono le due coniche. Le coniche degeneri sono quelle che si ottengono per particolari valori del parametro λ nell'equazione del fascio, e corrispondono a coniche che non rappresentano una curva del secondo ordine 'regolare' (per esempio, due rette, una retta contata due volte, un punto). L'analisi richiede di capire la geometria del fascio di coniche e la sua relazione con i punti base e le coniche degeneri. Inoltre, si chiede di determinare le rette tangenti comuni a tutte le coniche del fascio, elementi di simmetria comuni e i punti che hanno la stessa polare rispetto a tutte le coniche.

Alcuni esercizi chiedono di determinare proprietà geometriche specifiche di coniche. Ad esempio, si richiede di trovare le coordinate omogenee dei punti impropri di una conica data, le equazioni dei suoi asintoti e le coordinate omogenee del polo della retta impropria. Questo richiede una buona familiarità con le coordinate omogenee e le tecniche per ricavare le informazioni geometriche a partire dall'equazione della conica. In altri esercizi si analizzano i punti base di un fascio di coniche, si determinano le coniche degeneri e le rette tangenti comuni a tutte le coniche del fascio, le cui soluzioni richiedono la comprensione delle proprietà dei fasci di coniche e delle loro equazioni. La determinazione degli asintoti di un'iperbole richiede la conoscenza della relazione tra l'equazione dell'iperbole e le equazioni dei suoi asintoti.

Un esercizio presenta un'equazione complessa di sesto grado nella variabile z: z⁶ - (1+i)z³ + i = 0. Si richiede di trovare le soluzioni dell'equazione in forma algebrica. La risoluzione di questa equazione complessa richiede l'applicazione di tecniche appropriate per la manipolazione di numeri complessi e la risoluzione di equazioni polinomiali. Si può notare che l'equazione è di sesto grado, ma può essere ridotta ad un'equazione di secondo grado nella variabile z³, semplificando la risoluzione. Una volta trovate le soluzioni per z³, si dovranno ricavare le corrispondenti soluzioni per z, considerando sia la parte reale che quella immaginaria. La soluzione finale deve esprimere le sei soluzioni in forma algebrica, cioè nella forma a + bi, dove a e b sono numeri reali.

Un altro esercizio richiede di determinare il polinomio a coefficienti reali di grado minimo, monico (cioè con coefficiente del termine di grado massimo uguale a 1), che ammette z₁ = -1, z₂ = 1 + i come radici semplici e z₃ = -i come radice doppia. Questo implica la comprensione del teorema fondamentale dell'algebra e la conoscenza di come costruire un polinomio a partire dalle sue radici. Poiché il polinomio deve avere coefficienti reali, per ogni radice complessa z, deve essere presente anche la sua coniugata z*. La molteplicità di una radice indica quante volte essa compare nella fattorizzazione del polinomio. La soluzione richiede la costruzione del polinomio minimo moltiplicando i fattori lineari corrispondenti alle radici, tenendo conto delle loro molteplicità. Il risultato sarà un polinomio di grado minimo che soddisfa le condizioni date.

La sezione di probabilità e statistica si concentra sulla distribuzione normale. Un esercizio introduce una variabile aleatoria X con distribuzione normale N(0,1) (media 0 e varianza 1) e richiede di determinare il valore a tale che P(X < a) = 0.03. Questo implica la conoscenza delle proprietà della distribuzione normale standard e l'utilizzo di tavole o software statistico per trovare il valore di a corrispondente alla probabilità cumulata di 0.03. La soluzione richiede l'utilizzo di tavole della distribuzione normale o di un software statistico per trovare il quantile corrispondente alla probabilità data. Questo esercizio testa la comprensione della distribuzione normale standard e la capacità di utilizzare le risorse per determinare i valori associati a determinate probabilità.

Un altro esercizio coinvolge una variabile aleatoria X con distribuzione normale N(1,4) (media 1 e varianza 4). Si richiede di calcolare la probabilità che X assuma valori maggiori di -1/2 e la probabilità che |X - 2| < 5. Per risolvere questo esercizio, è necessario standardizzare la variabile aleatoria X sottraendo la media e dividendo per la deviazione standard, trasformandola in una variabile con distribuzione N(0,1). Successivamente, si utilizza la tavola della distribuzione normale standard o un software statistico per calcolare le probabilità richieste. Il calcolo della seconda probabilità richiede una comprensione di come trattare le disequazioni e il valore assoluto nella context della distribuzione normale. Questo esercizio verifica la capacità di standardizzare una variabile aleatoria e di calcolare probabilità utilizzando la distribuzione normale.