Sistemi di Secondo Grado
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Riassunto
I.Sistemi di Secondo Grado
Un sistema di equazioni non è altro che un insieme di equazioni con le stesse incognite. L'insieme delle soluzioni è dato dall'intersezione degli insiemi delle soluzioni delle singole equazioni.
1. Sistemi di secondo grado
Un sistema di equazioni è l'insieme di più equazioni con le stesse incognite. Le soluzioni sono date dall'intersezione degli insiemi delle soluzioni delle singole equazioni.
2. Sistemi simmetrici
Un sistema è simmetrico se rimane invariato scambiando le incognite. In questo caso, trovata una soluzione, si ottiene la simmetrica assegnando il valore della prima incognita alla seconda e viceversa.
3. Sistemi omogenei di secondo grado
I sistemi omogenei di secondo grado hanno tutti i termini con lo stesso grado, ad eccezione dei termini noti. Se i termini noti sono nulli, l'unica soluzione è quella nulla (0; 0).
4. Problemi che si risolvono con sistemi di grado superiore al primo
Sono problemi in cui considerare più variabili facilita la traduzione in linguaggio matematico delle relazioni tra i dati.
II.Sistemi Simmetrici
Un sistema di due equazioni in due incognite è detto simmetrico se rimane invariato scambiando le incognite.
1. Sistemi simmetrici
Un sistema di due equazioni in due incognite è detto simmetrico se rimane invariato scambiando le incognite. Ad esempio, il sistema
{ x^2 + y^2 = 2\ xy +5 = 0
è simmetrico perché scambiando x e y si ottiene lo stesso sistema.
Osservazione: Se il sistema è simmetrico e si trova una soluzione, scambiando il valore trovato per x con y e viceversa si ottiene l'altra soluzione.
2. Sistemi simmetrici di secondo grado
Rientrano in questa categoria i sistemi simmetrici che possono essere trasformati in modo equivalente in sistemi simmetrici del tipo seguente:
{ x^2 + y^2 = a\ xy +5 = b
Esempio:
Il sistema
{ x^2 + y^2 = -12\ 2xy = 72
può essere trasformato in:
{ x^2 + y^2 = -12\ xy = 36
che è un sistema simmetrico.
3. Sistemi non simmetrici riconducibili a sistemi simmetrici
Rientrano in questa classe i sistemi che, pur non essendo simmetrici, possono essere trasformati in sistemi simmetrici mediante opportune sostituzioni.
Esempio:
Il sistema
{ x^4 + y^4 = -1\ 4xy(x + y) - 5 = 0
può essere trasformato in:
{ (x + y)^4 - 4xy(x + y)^2 + 2x^2y^2 = 7\ 2x + x^2y + y = -1
che è un sistema simmetrico.
III.Sistemi Omogenei di Secondo Grado
Un sistema si dice omogeneo se le equazioni, con l'eccezione dei termini noti, hanno, hanno tutti i termini con lo stesso grado.
1. Sistemi Omogeni di Secondo Grado
Un sistema è omogeneo se le equazioni, esclusi i termini noti, hanno tutti i termini con lo stesso grado.
Primo caso se d=0 e d'=0
Considerando il sistema:
{ ax^2 +bxy+cy^2 +b'xy+c'y^2 =d { a'x^2 +b'xy+c'y^2 =d'
Sostituendo y=tx, il sistema diventa:
{ x^2(a-6t+8t^2) +x(4t-5t^2) =0 { x^2(1-6t+8t^2) +x(1+4t-5t^2) =0
Dividendo per x^2, otteniamo:
{ a-6t+8t^2 +4t-5t^2 =0 { 1-6t+8t^2 +1+4t-5t^2 =0
Risolvendo le due equazioni, si trova che non hanno soluzioni comuni, quindi il sistema ha solo la soluzione nulla (0;0).
Esempio
{ x^2 -6xy +y^2 =0 { 3x^2 +5xy -y^2 =0
Dividendo membro a membro le due equazioni, otteniamo:
{ (a+bt+ct^2)/(a'+b't+c't^2) = d/d'
che è un'equazione di secondo grado nell'incognita t.
Trovate le soluzioni t1 e t2, dobbiamo poi risolvere i sistemi:
{ a'x^2 +b'xy+c'y^2 =t1d' { a'x^2 +b'xy+c'y^2 =t2d'
IV.Problemi che si Risolvono con Sistemi di Grado Superiore al Primo
La formalizzazione di alcuni problemi richiede l'utilizzo di sistemi di equazioni di grado superiore al primo, come nel caso di problemi che coinvolgono più variabili.
1. Problemi che si risolvono con Sistemi di Secondo Grado
I problemi che possono essere risolti con sistemi di secondo grado coinvolgono relazioni tra variabili che comportano equazioni quadratiche. Implicano spesso variabili che rappresentano dimensioni, quantità o relazioni geometriche.
2. Problemi di Intersezione di Curve
Un sistema di secondo grado può rappresentare l'intersezione tra una retta e una curva di secondo grado (circonferenza, parabola, ellisse o iperbole). Le soluzioni del sistema rappresentano i punti di incontro tra retta e curva.
3. Problemi di Riduzione al Caso Simmetrico
Alcuni problemi possono essere ridotti a sistemi simmetrici, che semplificano la risoluzione. In un sistema simmetrico, le variabili possono essere scambiate nelle equazioni senza alterare le soluzioni.