Replica Statica Opzioni: Modelli e Applicazioni

La sezione introduce la strategia stop-loss, una tecnica di hedging semplice per opzioni plain vanilla (call e put europee). Teoricamente, questa strategia garantisce una replica esatta del contratto derivato assumendo posizioni lunghe o corte sullo strumento sottostante a seconda che l'opzione sia in-the-money o out-of-the-money. L'obiettivo è coprire l'esposizione dell'emittente alla scadenza, evitando costi di detenzione del sottostante. Tuttavia, la pratica presenta complicazioni. L'hedger non può effettuare transazioni esattamente al prezzo d'esercizio (K), rendendo difficile prevedere se il prezzo del sottostante (S) aumenterà o diminuirà nell'istante successivo. Un esempio illustra il problema di un'istituzione finanziaria che vende una put option e cerca di coprire l'esposizione con una strategia stop-loss. Se il prezzo del sottostante tocca K, la vendita allo scoperto potrebbe risultare in una perdita se il prezzo successivamente aumenta sopra K, causando costi aggiuntivi dovuti a transazioni ripetute. Anche attendendo il movimento successivo di S per agire si incorre in perdite, sebbene si evitino transazioni inutili. In sintesi, i costi di transazione e l'imprevedibilità del movimento del sottostante in prossimità dello strike price limitano fortemente l'efficacia della strategia stop-loss nella pratica, nonostante la sua semplicità teorica. Un esempio numerico ipotetico, che coinvolge un'istituzione finanziaria che vende una put option su azioni di una società 'ABC S.p.a.', chiarisce le difficoltà legate a questa strategia.

Questa sezione descrive il delta hedging, una tecnica che sembra offrire una replica esatta del payoff di un'opzione. Tuttavia, la sua efficacia è limitata a un brevissimo intervallo di tempo (dt). Dopo dt, il portafoglio, costruito in t=0, non è più indipendente dal rischio di variazione del prezzo dell'underlying asset. Il delta dell'opzione cambia nel tempo, richiedendo un ribilanciamento periodico della posizione sull'asset sottostante per mantenere efficace la copertura. Questa necessità di monitoraggio e riadattamento continuo rende il delta hedging una procedura dinamica. Il delta assume valori più alti quando il prezzo del sottostante è vicino allo strike price (K) e diminuisce rapidamente quando S si allontana da K. Nonostante l'apparente efficacia teorica, il delta hedging presenta delle limitazioni nella realtà dei mercati finanziari. Elementi non considerati nel modello di Black, Scholes e Merton, come i costi di transazione, influenzano la performance. L'ipotesi di tassi di interesse e volatilità costanti è spesso irrealistica, soprattutto per derivati a lungo termine. La volatilità può cambiare nel tempo a causa di eventi imprevedibili (shocks) e notizie di mercato, rendendo il modello di Black-Scholes-Merton una semplificazione. Modelli come ARCH e GARCH cercano di catturare questa variabilità della volatilità, ma l'analisi mostra comunque le limitazioni del delta hedging.

Questa parte presenta un'applicazione del delta hedging a una call asiatica, mostrando una ribilanciamento settimanale della copertura. L'esempio, basato sulla formula di valutazione di Hull contenuta in DerivaGem, indica che il delta diminuisce gradualmente avvicinandosi alla scadenza, in linea con l'intuizione teorica. La buona performance in un path simulato suggerisce che il delta hedging può essere efficace per le opzioni asiatiche. Tuttavia, si sottolinea che le simulazioni si basano sul modello di Black, Scholes e Merton, con solo S e t come variabili che cambiano nel tempo. Una copertura fino al secondo ordine, riducendo ulteriormente dt, potrebbe fornire una replica quasi esatta in questo framework ideale. Ma la realtà dei mercati finanziari differisce significativamente: tassi d'interesse, dividendi e soprattutto la volatilità sono variabili, non costanti come previsto dal modello. Per una copertura dinamica completa, sarebbe necessario espandere la funzione di valore lungo diverse dimensioni e utilizzare più strumenti. La stima dei parametri del modello introduce inevitabilmente imprecisioni. L'analisi prosegue poi esaminando il delta hedging applicato alle opzioni con barriera, confermando le difficoltà già evidenziate per l'hedging dinamico di queste opzioni. Il payoff irregolare delle barrier options causa anomalie nel comportamento delle greche (delta e gamma), rendendo la copertura inefficace. Per migliorare la performance si potrebbe utilizzare un'altra opzione con barriera come strumento di replica, ma questo introduce nuove problematiche, come la scarsa disponibilità e la maggiore costo di transazioni frequenti su mercati OTC.

La sezione inizia introducendo la Put-Call Parity (PCP) come relazione fondamentale tra i prezzi di una call, una put e un contratto forward europei con caratteristiche analoghe (stesso sottostante, scadenza e prezzo d'esercizio). Questa relazione permette di replicare uno di questi tre strumenti tramite una combinazione degli altri due, e viene impiegata nel pricing e, come qui illustrato, nell'hedging statico. Un esempio mostra come un emittente di una call europea possa coprire la propria esposizione assumendo posizioni corte su una put e un contratto forward. In assenza di costi di transazione, questo approccio garantisce un hedge perfetto, senza necessità di ribilanciamenti periodici. Tuttavia, l'esistenza di costi di transazione, bid-ask spread e differenze di liquidità tra gli strumenti limita la precisione della replica nella realtà. La PCP, pur presentando questa limitazione pratica e dimostrandosi meno efficace del delta hedging per via della sua rigidità, viene definita come una tecnica utile, in quanto fornisce un approccio semplice per estendere le strategie dalla copertura di call a quella di put, e viceversa. La valutazione dell'esposizione al rischio, in questo caso, è model-independent, a differenza del delta hedging che si basa su modelli di pricing come quello di Black, Scholes e Merton. L'indipendenza dal modello è un vantaggio significativo, ma non elimina le inefficienze di mercato.

Questa parte presenta il modello di Wu e Zhu (2011), un metodo di replica statica che utilizza 'nearby contracts', ovvero strumenti con caratteristiche simili all'opzione target (stesso sottostante, scadenze e prezzi d'esercizio vicini). Questo approccio permette un buon matching dei fattori di rischio e offre flessibilità nella scelta degli strumenti di replica, consentendo al trader di adattare la strategia alle condizioni di mercato. Il modello prevede la costruzione di un 'triangolo' di tre opzioni per replicare staticamente l'opzione target. Le simulazioni, basate sul modello di Black, Scholes e Merton, dimostrano che la performance è sensibile ai parametri delle opzioni di copertura (prezzi d'esercizio e scadenze). Risultati più accurati si ottengono quando i parametri delle opzioni di copertura sono vicini a quelli dell'opzione target. La spaziatura tra i prezzi d'esercizio e le scadenze delle opzioni di copertura deve essere attentamente valutata, dato che la performance è sensibile alla loro relazione. Un esempio numerico illustra l'applicazione del metodo, mostrando la possibilità di ottenere una replica statica accurata con solo tre 'nearby contracts', all'interno del framework di Black, Scholes e Merton. La flessibilità del metodo e la possibilità di ottenere risultati accurati con un numero limitato di strumenti rappresentano un vantaggio significativo rispetto alle tecniche dinamiche.

Questa sezione descrive il modello di Carr e Wu (2002), che, a differenza del modello di Wu e Zhu, non si basa su 'nearby contracts'. Il modello richiede la stima di parametri come la volatilità del sottostante, il tasso d'interesse privo di rischio e il tasso di dividendo, rendendo l'implementazione più complessa e soggetta a errori di stima. La necessità di scegliere un modello di pricing di riferimento introduce un'ulteriore fonte di incertezza. Nonostante queste difficoltà, il modello può essere esteso ad opzioni esotiche. Si presenta un'applicazione alle opzioni asiatiche geometriche, utilizzando la formula di Kemna e Vorst, che presenta una struttura simile a quella di Black, Scholes e Merton. Sebbene la maggior parte delle opzioni asiatiche nei mercati reali utilizzi la media aritmetica dei prezzi del sottostante, la formula di Kemna e Vorst (che fornisce il prezzo di un'opzione scritta sulla media geometrica) è una buona approssimazione a meno che la volatilità non sia estremamente elevata. Le simulazioni mostrano l'efficacia del metodo e un confronto con il delta hedging evidenzia la superiorità della replica statica di Carr e Wu, particolarmente nel contesto del modello di Black, Scholes e Merton. L'utilizzo di opzioni europee plain vanilla, generalmente più liquide e disponibili, rappresenta un altro vantaggio rispetto al modello di Wu e Zhu.

Questa sezione descrive un'analisi empirica condotta utilizzando un dataset di serie storiche di prezzi e volumi di SPX Options (opzioni sull'indice S&P 500) dal CBOE, dal 31 ottobre 2016 al 30 novembre 2016 (21 giorni lavorativi). L'obiettivo è confrontare la performance dei modelli di replica statica con il delta hedging. Come opzione target viene scelta una call europea sull'S&P 500 con strike price 2150 e scadenza al 28 aprile 2017. Il modello di Black, Scholes e Merton è utilizzato per stimare i parametri. I risultati mostrano che entrambi i modelli di replica statica producono coperture efficaci. In particolare, la strategia di Carr e Wu con N=3 opzioni di copertura registra la migliore performance. Un risultato interessante è che la precisione diminuisce leggermente con N=5 opzioni rispetto a N=3, contrariamente alla previsione teorica. Questo fenomeno è attribuito alla struttura della volatilità implicita nei mercati azionari (volatility smiles) e alla minore liquidità delle opzioni deep-in o deep-out-of-the-money. L'analisi conferma che la replica statica, soprattutto con un numero ridotto di strumenti di copertura, offre una valida alternativa al delta hedging, in particolare quando l'opzione target è near-the-money. L'importanza dei costi di transazione viene ancora una volta sottolineata.

Il capitolo introduce la replica statica per le opzioni con barriera (barrier options), strumenti più complessi rispetto alle opzioni plain vanilla. Queste opzioni, generalmente scambiate Over The Counter (OTC), presentano un payoff che dipende dal raggiungimento o meno di un livello di prezzo prestabilito (la barriera) durante la vita dell'opzione o alla scadenza. La presenza della barriera le rende meno costose delle opzioni plain vanilla e attraenti per la gestione di situazioni contingenti. Tuttavia, la discontinuità del payoff rende difficile la copertura tramite tecniche dinamiche come il delta hedging o il delta-gamma hedging. Il capitolo si concentra su tecniche di replica statica che offrono una copertura più precisa ed efficiente rispetto ai metodi dinamici. Si esamineranno diverse strategie, con applicazioni ed esempi, analizzando anche i risultati empirici disponibili. Le barrier options, nonostante siano negoziate da diversi anni, presentano una letteratura empirica scarsa, legata alla difficoltà di reperire dati storici di prezzo, dato che la maggior parte degli scambi avviene sui mercati OTC, accessibili principalmente agli investitori istituzionali. La presenza della barriera e la conseguente discontinuità del payoff rendono la replica statica particolarmente vantaggiosa rispetto a quella dinamica in questo contesto.

Questa sezione tratta la replica statica di opzioni binarie (o digitali), le più semplici opzioni con barriera. Il loro payoff è deterministico: 1 se il sottostante supera un livello H alla scadenza, 0 altrimenti. La strategia di replica proposta si basa sulla costruzione di uno spread verticale di opzioni plain vanilla europee, acquistando e vendendo simultaneamente opzioni con lo stesso sottostante e scadenza ma strike price diversi. Una certa quantità α di questo spread approssima il valore della binary option. Nel caso di una call binaria, si acquistano α call europee con strike K1 e si vendono α call europee con strike K2, con K1 < H < K2. Se K2=H, si ottiene un over-hedge perché il payoff dello spread domina quello della binary call. Un'analisi empirica su BVZ Options (opzioni binarie sul VIX quotate sul CBOE) verifica questa condizione di non arbitraggio, confermandola pur notando differenze minime in alcuni casi. Simulazioni con Excel e VBA dimostrano l'efficacia del metodo, soprattutto per le Up and Out calls, che presentano difficoltà di copertura con il delta hedging. Aumentando il numero di opzioni nel portafoglio, la precisione della replica aumenta, tendendo al 100% all'infinito. L'analisi del comportamento della strategia nei punti non perfettamente coperti (matching dates) rivela una diminuzione della precisione con l'avvicinarsi della scadenza, ma in misura minore per portafogli più grandi, sollevando la questione di una spaziatura ottimale delle matching dates.

La sezione introduce l'approccio basato sulla Put-Call Symmetry (PCS), inizialmente proposto da Bowie e Carr (1994) ed esteso da Carr, Ellis e Gupta (1998). La PCS permette di definire relazioni di copertura esatta per alcuni tipi di opzioni con barriera, ma richiede assunzioni restrittive, come un costo di trasferimento (cost of carry) nullo e una struttura di volatilità simmetrica. La prima ipotesi limita l'applicabilità a opzioni su futures, escludendo azioni o valute. Rimuovendo questa ipotesi, la PCS permette solo di definire un intervallo di prezzo per l'opzione target in assenza di arbitraggio. Questa metodologia presenta quindi delle limitazioni derivanti dalle assunzioni restrittive necessarie per la sua applicazione. La sua utilità principale è fornire un intervallo di riferimento per valutare la precisione di altre tecniche di replica statica.

Questa sezione descrive il maturity-spread approach di Derman, Ergener e Kani, un metodo di replica statica che utilizza opzioni con diverse scadenze per garantire il match tra il portafoglio di copertura e l'opzione target in diversi punti temporali (matching dates) lungo il contorno. L'approccio garantisce la corrispondenza in punti specifici, ma non lungo tutto il contorno, necessitando di un numero finito di opzioni (N) per l'applicazione pratica. L'analisi tramite simulazioni mostra che la precisione diminuisce avvicinandosi alla scadenza, anche se l'errore si riduce aumentando N. La spaziatura equidistanziata tra le matching dates, proposta dagli autori, potrebbe non essere ottimale, soprattutto vicino alla scadenza, dove la precisione dell'hedge è più sensibile. Si evidenzia la maggiore difficoltà nell'hedging delle Up and Out calls rispetto alle Down and Out calls. Il metodo, pur essendo model-dependent e soggetto a costi di transazione, risulta più efficiente del delta hedging, con un minor costo per l'hedger e maggiore precisione. La flessibilità nella scelta del contorno e degli strumenti di copertura è un ulteriore vantaggio. La scelta di opzioni deep-out-of-the-money, sebbene possa implicare negoziazioni di strumenti meno liquidi, potrebbe essere conveniente grazie a una volatilità implicita inferiore.

La sezione presenta lo strike-spread approach di Carr e Chou, un metodo simile al maturity-spread approach, ma che utilizza opzioni con diversi prezzi d'esercizio invece di diverse scadenze per garantire il match tra portafoglio e opzione target. L'approccio è flessibile e accurato, ma la sua derivazione è model-dependent, basata sulle assunzioni del modello di Black, Scholes e Merton. Simulazioni mostrano che aumentare il numero di opzioni migliora la precisione, ma la relazione non è monotona come nel maturity-spread approach. Questo evidenzia la necessità di una spaziatura ottimale tra i prezzi d'esercizio. L'analisi conferma la maggiore difficoltà nell'hedging delle Up and Out calls. Il metodo si dimostra efficace per vari tipi di opzioni con barriera. Un punto di forza è la maggiore disponibilità di opzioni con diversi prezzi d'esercizio rispetto a quelle con diverse scadenze, un vantaggio rispetto al maturity-spread approach, soprattutto per le opzioni più negoziate (es: SPX Options). Un'analisi empirica, con dati di SPX Options del CBOE, mostra una buona approssimazione del valore dell'opzione target con un numero limitato di opzioni, confermando l'efficacia della strategia.

La sezione conclude il capitolo con una breve discussione di alcuni studi empirici sulla replica statica di opzioni con barriera. Si cita la ricerca di Easton, Gerlach, Graham e Tuyl (2004) sull'ASX che evidenzia un over-pricing per alcuni derivati a causa dell'elevato gamma vicino alla barriera. Altri studi (Tompkins, 2002; Nalholm e Poulsen, 2006; Engelmann et al., 2007) confrontano la replica statica con il delta hedging tramite simulazioni, confermando la superiorità dei modelli statici. L'analisi empirica del testo utilizza dati reali di SPX Options del CBOE per testare lo strike-spread approach. Si osserva che la strategia produce una buona approssimazione del valore dell'opzione target a partire da N=3 opzioni, mostrando un hedging error generalmente positivo. Il portafoglio si colloca tra il prezzo teorico del modello di Black-Scholes-Merton e l'intervallo stimato dalla Put-Call Symmetry, riflettente la differenza tra il mondo ideale del modello e la realtà di mercato. L'analisi evidenzia la superiorità della replica statica rispetto a quella dinamica per le opzioni con barriera, grazie a minori costi di transazione e un migliore matching dei fattori di rischio. La flessibilità nella scelta del contorno permette di focalizzarsi sui punti critici vicino alla barriera e alla scadenza.

Le conclusioni iniziano confrontando la replica statica e quella dinamica per le opzioni. Lo studio evidenzia i punti deboli delle strategie di hedging dinamico: l'impatto significativo dei costi di transazione, la dipendenza da modelli di pricing (come Black-Scholes-Merton) per la stima dei parametri di copertura, e l'impossibilità di ottenere una replica perfetta di tutti i fattori di rischio. La replica statica, al contrario, si dimostra superiore, mitigando l'impatto dei costi di transazione e garantendo un migliore matching dei fattori di rischio tra il portafoglio di hedging e l'opzione target. Questo porta a una performance complessivamente migliore, rendendola un'alternativa valida alle tecniche di copertura dinamica tradizionali. L'analisi evidenzia in particolare la netta superiorità della replica statica nel caso delle opzioni con barriera, dove le tecniche dinamiche si mostrano particolarmente imprecise. Per le opzioni ordinarie, il vantaggio della replica statica è meno marcato in teoria, ma i risultati ottenuti indicano comunque una convenienza in molti casi. Si sottolinea infine la complementarità dei due approcci, con la possibilità di sviluppare tecniche ibride che combinino i vantaggi di entrambi.

Le conclusioni sottolineano l'importanza della replica statica per le opzioni con barriera. La particolare struttura di questi derivati, caratterizzata da una forte sensibilità alle variazioni del prezzo del sottostante e dalla discontinuità del payoff, rende la replica statica una soluzione indispensabile per i trader. La sua superiorità rispetto alle tecniche di copertura dinamica è ancora più evidente in questo contesto, dove le tecniche dinamiche si dimostrano molto imprecise. Per le opzioni ordinarie, pur potendo la replica dinamica risultare ancora competitiva in alcuni casi, la replica statica offre vantaggi significativi. Le analisi empiriche, condotte utilizzando dati reali di SPX options dal CBOE, hanno confermato l'efficacia dei modelli di replica statica proposti, mostrando una performance generalmente migliore rispetto al delta hedging, soprattutto quando il numero di strumenti nel portafoglio è limitato. L'analisi evidenzia anche come la performance di alcuni modelli possa essere influenzata dalla forma della curva di volatilità implicita presente nei mercati reali (volatility smile).

L'analisi empirica condotta, utilizzando dati reali di chiusura delle SPX Options, ha dimostrato la validità dei modelli di replica statica anche in un contesto reale di mercato. L'analisi si concentra in particolare sul confronto tra il prezzo teorico derivante dal modello di Black, Scholes e Merton e il range di prezzo ottenuto tramite la Put-Call Symmetry (PCS), in assenza di opportunità di arbitraggio. Si osserva che la formula di valutazione tende a sovrastimare il prezzo di mercato, a causa di una rappresentazione inadeguata della struttura di volatilità. L'analisi empirica dello strike-spread approach si posiziona a metà strada tra la previsione del modello di Black, Scholes e Merton e l'intervallo derivante dalla PCS, evidenziando l'influenza del modello teorico e della realtà di mercato. La scarsità di dati reali per opzioni con barriera, data la loro negoziazione prevalentemente OTC, limita l'analisi empirica in questo ambito. In conclusione, lo studio evidenzia la necessità di ulteriori ricerche, sia teoriche che empiriche, per approfondire le tecniche di replica statica e la loro integrazione con gli approcci dinamici, date le lacune nella letteratura scientifica attuale e la grande rilevanza pratica del tema per i traders di opzioni.