Espressioni Letterali e Numeri

La definizione di espressione letterale o algebrica è uno schema di calcolo che include numeri e lettere legati da simboli operativi. È importante seguire regole specifiche nell'utilizzo delle lettere per rappresentare numeri, proprio come facciamo nelle espressioni numeriche. Ad esempio, l'espressione 3⋅4 non è corretta poiché il simbolo + dell'addizione deve essere seguito da un altro numero per completare l'operazione. Allo stesso modo, l'espressione letterale a⋅ c non è corretta.

Le lettere vengono utilizzate per esprimere le proprietà delle operazioni tra i numeri, indicando che valgono per qualsiasi numero. Ad esempio, l'espressione a bc=a  bc  esprime la proprietà associativa dell'addizione. In questa espressione, le lettere a, b, c rappresentano numeri qualsiasi.

Ogni espressione letterale rappresenta uno schema di calcolo in cui le lettere sostituiscono i numeri. Ad esempio, l'espressione letterale 2⋅x 2  x si traduce in una catena di istruzioni che nel linguaggio naturale è descritta come: "prendi un numero; fanne il quadrato; raddoppia quanto ottenuto; aggiungi al risultato il numero preso inizialmente". Calcolare il valore numerico dell'espressione 3 a a−b  per a =1, b =1: 3⋅ 1⋅1 – 1=3⋅ 1⋅ 0=0.

Se l'espressione letterale presenta una divisione in cui il divisore contiene variabili, dobbiamo stabilire la Condizione di Esistenza, eliminando quei valori che rendono nullo il divisore. Ad esempio, nell'espressione E= x− y / 3⋅x costruita con le variabili x e y che rappresentano numeri razionali, l'espressione letterale assegnata si traduce nel seguente schema di calcolo:"la divisione tra la differenza di due numeri e il triplo del primo numero". Scriveremo quindi come premessa alla ricerca dei valori di E la Condizione di Esistenza x ≠0.

I polinomi sono insiemi di monomi, pertanto i risultati derivanti dalla somma o dalla sottrazione di polinomi restituiscono altre somme algebriche di monomi.

Il prodotto tra un monomio e un polinomio restituisce un polinomio i cui termini sono il risultato del prodotto del monomio per ciascun termine del polinomio.

Il quoziente tra un polinomio e un monomio si calcola tramite la proprietà distributiva della divisione rispetto all'addizione. Il polinomio è divisibile per un monomio se esiste un polinomio che, moltiplicato per il monomio, restituisce il polinomio dividendo.

Il prodotto di due monomi è un monomio avente per coefficiente il prodotto dei coefficienti, per parte letterale il prodotto delle parti letterali dei monomi fattori.

Per sottrarre due monomi simili si aggiunge al primo l’opposto del secondo.

Il prodotto di un monomio per un polinomio è un polinomio avente come termini i prodotti del monomio per ciascun termine del polinomio.

Il quoziente tra un polinomio e un monomio si calcola applicando la proprietà distributiva della divisione rispetto all’addizione.

La divisione tra un polinomio e un monomio è una operazione che determina due polinomi, il quoziente e il resto, che soddisfano la seguente equazione:

A(x) = B(x) * Q(x) + R(x)

dove A(x) è il dividendo, B(x) è il divisore, Q(x) è il quoziente e R(x) è il resto.

La divisione tra un polinomio e un monomio è sempre possibile, ma il risultato sarà un polinomio solo se il monomio è divisore di tutti i termini del polinomio.

Il quoziente della divisione tra un polinomio e un monomio si ottiene dividendo ogni termine del polinomio per il monomio divisore.

Il quadrato di un binomio è la somma del quadrato del primo termine, del quadrato del secondo termine e del doppio prodotto del primo termine per il secondo.

La differenza di due quadrati è uguale al prodotto della loro somma per la loro differenza.

Il prodotto della somma e della differenza di due termini è uguale alla differenza dei loro quadrati.

• La divisione tra polinomi in una sola variabile è definita come il processo di determinare due polinomi, ovvero il quoziente e il resto, dati un polinomio dividendo e un polinomio divisore, in modo tale che il dividendo sia uguale al prodotto del quoziente e del divisore più il resto.

• Il quoziente rappresenta la divisione dei polinomi quando il grado del dividendo è maggiore o uguale al grado del divisore, mentre il resto è il polinomio mancante per completare la divisione.

• Affinché la divisione sia possibile, il grado del dividendo deve essere maggiore o uguale al grado del divisore.

• Quando il grado del dividendo è minore del grado del divisore, il quoziente è zero e il resto è il dividendo.

• Per eseguire la divisione, si utilizzano algoritmi specifici come la regola di Ruffini quando il divisore è di primo grado.

Teorema di Euclide

In un insieme di polinomi in una sola variabile, per due polinomi A(x) dividendo e B(x) divisore, esistono altri due polinomi, Q(x) quoziente e R(x) resto, con grado di R(x) minore del grado di B(x), tali che:

A(x) = Q(x) B(x) + R(x)

Il teorema di Euclide stabilisce le seguenti condizioni per la divisione tra polinomi in una sola variabile:

• Che i polinomi siano ordinati secondo le potenze decrescenti della variabile.
• Che dividendo e divisore siano in forma completa.

Casi particolari:

• Se il grado di A(x) è minore del grado di B(x), il teorema resta valido, con Q(x) = 0 e R(x) = A(x).
• Per polinomi in più variabili, il teorema di Euclide non è valido.

Definizione di divisibilità

Un polinomio A (dividendo) è divisibile per un polinomio B (divisore) se esiste un polinomio Q (quoziente) per il quale A = Q⋅B.

Esempio di divisione tra polinomi in più variabili

Per esempio, dati i polinomi A(a, b) = 3 a 2 b + 4 a b 2 + 3 a 3 - 2 b 3 e B(a, b) = a - 3 b, si procede alla divisione come nel caso di polinomi in una sola variabile.

Si ordina il polinomio A(x,y) in modo decrescente rispetto alla variabile y e si esegue nuovamente la divisione.

Il quoziente è sempre lo stesso? Il resto è sempre zero?

Regola di Ruffini

Per eseguire la divisione tra due polinomi, nel caso in cui il divisore sia di grado 1, si può applicare la regola di Ruffini, basata sui seguenti teoremi:

• Se il coefficiente numerico del divisore è diverso da 1, sia n, si dividono dividendo e divisore per n (proprietà invariantiva della divisione).
• Per ottenere il resto della divisione di partenza, occorre moltiplicarlo per n.

Divisione con divisione di Ruffini

Esempio:

Dividere (2 x 4 - x 3 - 4 x 2 + 2 x + 7) : (2 x - 1) con la regola di Ruffini.

Il teorema della divisione euclidea afferma che dati due polinomi A(x) e B(x), con B(x) non nullo, esiste un unico polinomio Q(x) (quoziente) e un unico polinomio R(x) (resto) tali che:

La regola di Ruffini è un metodo per eseguire la divisione tra un polinomio e un binomio di grado 1 (x + n), dove n è un numero reale. Il procedimento è il seguente:

Il Minimo Comune Multiplo (M.C.M.) di un insieme di monomi è il monomio che soddisfa due condizioni:

1. Il coefficiente numerico è il minimo comune multiplo dei coefficienti numerici dei monomi dati.
2. La parte letterale è formata da tutte le lettere comuni e non comuni ai monomi dati, ciascuna presa una sola volta e con l'esponente maggiore con cui compare.