Insiemi: Elementi fondamentali

Aggiornato il:18/02/2025

Informazioni sul documento

Lingua	Italian
Numero di pagine	83
Formato	\| PDF
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Riassunto

I.Introduzione ad Insiemi ed Elementi di un Insieme

Gli insiemi sono collezioni di elementi ben definiti ed è essenziale specificare l'ambiente o il contesto a cui appartengono gli elementi. Quando definiamo un insieme, chiamiamo questo contesto 'insieme universo' e lo indichiamo con U. La cardinalità, o potenza, di un insieme finito si riferisce al numero di elementi in esso contenuti e viene indicata come |A|, #(A) o card(A).

1. Introduzione ad Insiemi ed Elementi di un Insieme

Un insieme viene definito come una raccolta di oggetti o elementi che hanno determinate caratteristiche in comune. Per identificare un insieme, è necessario definire l'ambiente o il contesto da cui trarre gli elementi, noto anche come insieme universo. La cardinalità di un insieme, o potenza, indica il numero di elementi che lo compongono.

2. Insieme delle parti

Dall' insieme degli elementi interi compresi tra 0 e 100, possiamo creare sottoinsiemi di numeri multipli di 10, numeri pari, numeri dispari e così via. Questo processo ci consente di formare numerosi altri insiemi che sono sottoinsiemi di quello originale.

6. Insieme complementare

Un insieme complementare è un insieme che contiene gli elementi di un insieme più grande che non appartengono a un sottoinsieme specifico. In questo modo, l'insieme più grande rappresenta l'insieme universo.

Diagramma cartesiano

Un diagramma cartesiano viene utilizzato per visualizzare due insiemi di elementi. Viene creato tracciando due semirette perpendicolari che si intersecano. Gli elementi del primo insieme vengono rappresentati su una semiretta e gli elementi del secondo insieme sull'altra. Questo diagramma può essere utilizzato per rappresentare relazioni e operazioni tra gli elementi dei due insiemi.

II.Tipologie di Insiemi

Gli insiemi possono essere classificati in base alle loro proprietà, come insiemi vuoti, sottoinsiemi, complementi e insiemi potenza. Un insieme vuoto è un insieme senza elementi, mentre un sottoinsieme è un insieme i cui elementi appartengono a un altro insieme più grande. L'insieme complementare di un insieme A rispetto a un insieme universo G contiene gli elementi di G che non appartengono ad A. Infine, l'insieme potenza di un insieme A è l'insieme di tutti i sottoinsiemi di A.

III.Relazioni tra Elementi

Le relazioni stabiliscono connessioni tra gli elementi degli insiemi. Una relazione binaria collega due elementi e può essere visualizzata come un grafo. Una relazione di equivalenza è una relazione che è riflessiva, simmetrica e transitiva. Una relazione d'ordine è una relazione che è riflessiva, antisimmetrica e transitiva. Infine, una funzione è una relazione che associa a ciascun elemento di un insieme un unico elemento di un altro insieme.

1. Relazioni in un insieme

Relazione indica un legame tra due o più elementi.
Proposizione è un'affermazione che può essere vera o falsa.
Predicato binario si riferisce a due argomenti (soggetto e complemento).

Esempi di predicati binari:

Andrea frequenta la stessa palestra di Marco
Marco è fratello di Paolo
Paolo è padre di Marco

2. Rappresentazione grafica delle relazioni

Grafo sagittale rappresenta le relazioni con frecce.
Arco collega elementi in relazione (senza frecce).
Cappio indica che un elemento è in relazione con se stesso.

Esempi:

Relazione "essere concorde" nell'insieme {-1,+3,-7,+5,-2,+4,+10}
Relazione "frequentare la stessa classe" nell'insieme degli alunni
Relazione "essere multiplo" nell'insieme dei numeri naturali

3. Tipi di relazioni

Relazione d'equivalenza: riflessiva, simmetrica, transitiva
Partizione: divisione di un insieme in classi d'equivalenza
Insieme quoziente: insieme delle classi d'equivalenza

Esempi:

Relazione "avere lo stesso resto nella divisione per 2" in N
Relazione "essere paralleli" in un fascio di rette
Relazione "essere congruenti" in un insieme di triangoli

4. Corrispondenze tra insiemi

Corrispondenza: associazione tra elementi di due insiemi.
Dominio: insieme degli elementi associati.
Codominio: insieme degli elementi a cui sono associati.
Immagine: insieme degli elementi associati nel codominio.

Tipi di corrispondenze:

Uno-a-uno
Molti-a-uno
Uno-a-molti
Molti-a-molti

Esempi:

Corrispondenza tra giorni della settimana e note musicali
Corrispondenza tra numeri naturali e numeri razionali
Corrispondenza tra lati di un poligono regolare e angoli

5. Funzioni

Funzione: legge che associa ad ogni elemento del dominio un solo elemento del codominio.
Variabile indipendente: elemento del dominio.
Variabile dipendente: elemento del codominio.
Formula analitica: espressione matematica che rappresenta la funzione.
Grafico: rappresentazione geometrica della funzione.

Tipi di funzioni:

Lineari
Costanti
Valore assoluto
Polinomiali
Razionali
Trigonometriche

Esempi:

Funzione f(x)=x+2
Funzione f(x)=2
Funzione f(x)=|x|

6. Numerabilità

Insieme numerabile: insieme che può essere messo in corrispondenza biunivoca con N.
Cardinalità: numero di elementi di un insieme.
Insieme infinito numerabile: insieme numerabile con infiniti elementi.

Esempi:

Insieme dei numeri naturali
Insieme dei numeri razionali
Insieme dei numeri algebrici

IV.Corrispondenze tra Insiemi

Le corrispondenze stabiliscono relazioni tra due insiemi, chiamati dominio e codominio. Una corrispondenza si dice biunivoca se ogni elemento del dominio è associato a un unico elemento del codominio e viceversa. Una funzione è un tipo specifico di corrispondenza che soddisfa questa proprietà. Le corrispondenze possono essere rappresentate graficamente utilizzando grafi sagittali.

Prime definizione

Una corrispondenza è un'associazione che stabilisce una relazione tra gli elementi di due insiemi, detti dominio e codominio. La cardinalità del dominio e del codominio possono essere diverse e, a seconda dei casi, la corrispondenza può essere:

uno a uno (monopolare): ad ogni elemento del dominio corrisponde un solo elemento del codominio,
molti a uno (polare): ad ogni elemento del dominio possono corrispondere più elementi del codominio,
uno a molti (iniettiva): ad un elemento del dominio possono corrispondere più elementi del codominio,
molti a molti: ad ogni elemento del dominio possono corrispondere più elementi del codominio e ad ogni elemento del codominio possono corrispondere più elementi del dominio. Quando la corrispondenza è biunivoca (sia uno a uno sia uno a molti), esiste una corrispondenza inversa che associa ad ogni elemento del codominio un elemento univoco del dominio e viceversa.

La retta e gli insiemi numerici

L'insieme dei numeri naturali (ℕ) e l'insieme dei numeri interi (ℤ) sono entrambi infiniti ma discreti, ovvero tra due elementi consecutivi non esiste un altro elemento. L'insieme dei numeri razionali (ℚ), invece, è denso, cioè tra due numeri razionali consecutivi esistono infiniti altri numeri razionali. Di conseguenza, la retta numerica, che rappresenta graficamente i numeri reali, ha più punti di quanti siano i numeri razionali. I punti mancanti sulla retta numerica rappresentano i numeri irrazionali.

Funzioni

Una funzione è una corrispondenza che associa ad ogni elemento di un dominio un unico elemento di un codominio. La variabile indipendente è l'elemento del dominio, mentre la variabile dipendente è l'elemento del codominio associato alla variabile indipendente. Le funzioni possono essere rappresentate graficamente nel piano cartesiano ortogonale.

V.Numerabilità di Insiemi

Gli insiemi numerabili sono insiemi che possono essere messi in corrispondenza biunivoca con l'insieme dei numeri naturali, N. L'insieme dei numeri razionali, Q, e l'insieme dei numeri naturali, N, sono entrambi numerabili, mentre l'insieme dei numeri reali, R, non è numerabile.

Numerabilità di Insiemi

Un insieme si dice numerabile se è finito o esiste una corrispondenza biunivoca tra esso e l’insieme dei numeri naturali.