Numeri REALI e RADICALI - Algebra 2

I numeri irrazionali sono numeri che non possono essere espressi come frazione di due numeri interi. Sono stati scoperti da Pitagora o dai suoi allievi nel IV secolo a.C. Esempi di numeri irrazionali sono: la radice quadrata di 2, la radice quadrata di 3, la radice cubica di 2 e il numero pi. L'insieme dei numeri irrazionali, insieme ai numeri razionali, costituisce l'insieme dei numeri reali, indicato con ℝ.

Una dimostrazione per assurdo dimostra che una proposizione è vera assumendo che sia falsa e mostrando che questa ipotesi conduce a una contraddizione. Per dimostrare che 2 è irrazionale, supponiamo che sia razionale. Ciò significa che può essere scritto come frazione a/b, dove a e b sono interi e b ≠ 0. Si può dimostrare che questa ipotesi porta a una contraddizione. Pertanto, l'ipotesi iniziale che 2 sia razionale deve essere falsa e 2 deve essere irrazionale.

Per costruire l'insieme dei numeri reali a partire dall'insieme dei numeri razionali, si costruisce una partizione dell'insieme dei numeri razionali in due sottoinsiemi, A e B. L'insieme A contiene tutti i numeri razionali il cui quadrato è minore di 2, e l'insieme B contiene tutti i numeri razionali il cui quadrato è maggiore o uguale a 2. La coppia (A, B) rappresenta il numero 2. Questo processo può essere ripetuto per costruire qualsiasi numero reale come coppia di insiemi di numeri razionali.

Ogni numero reale è individuato da due insiemi di numeri razionali: uno contenente tutte le approssimazioni per difetto e l'altro contenente tutte le approssimazioni per eccesso. Per confrontare due numeri reali, si confrontano le parti intere e le parti decimali.

I numeri razionali sono quei numeri che possono essere rappresentati come frazioni di numeri interi, ovvero come a/b dove a e b sono numeri interi e b non è uguale a 0. I numeri razionali sono chiusi rispetto alle operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione, ovvero la somma, la differenza, il prodotto e il quoziente di due numeri razionali sono ancora numeri razionali.

I numeri irrazionali sono quei numeri che non possono essere rappresentati come frazioni di numeri interi. Uno dei numeri irrazionali più famosi è la radice quadrata di 2, che è un numero irrazionale perché non può essere scritto come frazione di due numeri interi. I numeri irrazionali sono importanti in molti settori della matematica, come la geometria e l'analisi.

I numeri reali sono l'unione dei numeri razionali e dei numeri irrazionali. I numeri reali sono chiusi rispetto alle operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione, ovvero la somma, la differenza, il prodotto e il quoziente di due numeri reali sono ancora numeri reali. I numeri reali sono importanti in molti settori della matematica, come l'algebra, il calcolo e la statistica.

L'insieme dei numeri naturali racchiude i numeri utilizzati per contare ed è indicato nel seguente modo: ℕ={0,1, 2, 3, 4,5, 6,7, 8,9, 10,11, 12, ...}. Su questi numeri sono definite le seguenti operazioni: • addizione: nm è il numero che si ottiene partendo da n e continuando a contare per altre m unità; • moltiplicazione: n⋅m è il prodotto di n fattori tutti uguali a m, con l'aggiunta di n 1 =n e n 0 =1 ; • potenza: n m è il numero che si ottiene moltiplicando m fattori tutti uguali a n; • radice:  n m è il numero, se esiste ed è unico, che elevato a n dà come risultato m. L'addizione, la moltiplicazione e la potenza sono date su tutto l'insieme dei numeri naturali, cioè dati due numeri naturali qualsiasi, n ed m, la loro somma nm, il loro prodotto n⋅m e la potenza n m , escluso il caso 0 0 , è un numero naturale. Non sempre, invece, è possibile calcolare la loro differenza n−m , il loro quoziente n :m o la radice  n m .

Oltre ai numeri razionali, esistono numeri che non possono essere scritti come frazione, detti numeri irrazionali. Alcuni esempi di numeri irrazionali sono la radice quadrata di numeri naturali che non sono quadrati perfetti, le radici quadrate di frazioni che non sono il quadrato di alcuna frazione e le radici cubiche come  3 2 ,  5 7 , … Un altro famoso numero irrazionale è π, che corrisponde alla misura della circonferenza di diametro 1. Questi numeri sono detti numeri irrazionali e insieme ad altri, come π ed altri ancora che conoscerete in seguito, costituiscono l’insieme J dei numeri irrazionali. L'unione degli insiemi ℚ e J è l'insieme ℝ dei numeri reali.

L'insieme dei numeri razionali, indicato con ℚ, comprende tutti i numeri che possono essere espressi come frazioni di due numeri interi, a e b, dove a è il numeratore e b è il denominatore. È scritto come a/b, con b diverso da 0. I numeri razionali includono tutti i decimali finiti e infiniti non periodici. Gli insiemi ℤ e ℚ sono inclusi nell'insieme dei numeri reali, ℝ, che include anche i numeri irrazionali (numeri che non possono essere espressi come frazioni di due interi). L'operazione di sottrazione tra numeri razionali è ben definita, il che significa che può essere eseguita per qualsiasi coppia di numeri razionali, mentre l'operazione di divisione non è sempre possibile, come nel caso di 3:4.

I numeri irrazionali sono numeri che non possono essere espressi come frazione di due interi. Esempi noti sono √2 e π. I numeri irrazionali, insieme ai razionali, costituiscono l'insieme dei numeri reali. Il concetto di numeri irrazionali è emerso quando i pitagorici hanno scoperto che la diagonale di un quadrato con lati unitari non può essere espressa come un numero razionale. Questa scoperta ha portato allo sviluppo di una formulazione rigorosa dei numeri reali da parte di Augustin-Louis Cauchy e Richard Dedekind nel XIX secolo.

Per confrontare due numeri reali, si osserva prima di tutto il segno. Se i segni sono diversi, il numero negativo è minore di quello positivo. Se i segni sono gli stessi, si confrontano le parti intere e le parti decimali, a partire dalle cifre più a sinistra, fino a trovare la prima cifra decimale diversa. Il valore assoluto di un numero reale è il suo valore senza segno. La proprietà invariantiva afferma che il valore di una radice in ℝ non cambia se moltiplichiamo l'indice della radice e l'esponente del radicando per uno stesso numero intero positivo.

Per moltiplicare o dividere radici con indici diversi, è necessario prima ridurre le radici allo stesso indice utilizzando la proprietà invariantiva. Quindi si applicano le regole per moltiplicare o dividere radici con lo stesso indice. Per semplificare le radici, è possibile portare fuori dal segno di radice quei fattori aventi un esponente maggiore o uguale all'indice della radice.

È possibile effettuare somme algebriche di radicali solo se hanno lo stesso indice e lo stesso radicando. Attenzione a non sommare radicali con radicandi diversi, come in √(2) + √(3) = √(5), che è un'espressione errata.

Il documento illustra il processo di costruzione dell'insieme dei numeri reali partendo dai numeri razionali, evidenziando i concetti di numeri irrazionali e sezioni di insiemi razionali.

Un numero reale è definito come un numero che può essere rappresentato in forma decimale, con un numero finito o infinito di cifre, non necessariamente periodiche.

Un elemento separatore di una partizione (A, B) di Q è il massimo di A o il minimo di B, se questi elementi esistono. Il suo ruolo è quello di individuare un numero reale.

Il confronto tra due numeri reali considera innanzitutto i segni dei numeri. Se i segni sono discordi, il numero negativo è minore di quello positivo. Se i segni sono concordi, si valuta la parte intera del numero e poi si confrontano le parti decimali.