Equazioni di Secondo Grado

Equazione di secondo grado pura

L'equazione ha la forma: ax^2 + c = 0

La soluzione si ottiene portando a secondo membro il termine noto e dividendo per il coefficiente di x^2: ax^2 + c = 0 -> a x^2 = -c -> x^2 = -c/ a

Il valore ottenuto è chiamato discriminante dell'equazione (Δ) e permette di distinguere tre casi:

• Due soluzioni reali e distinte: x1 = √-Δ/a e x2 = -√-Δ/a

• Nessuna soluzione reale: Δ < 0

• Una soluzione reale e doppia: Δ = 0 -> x = 0

Equazione di secondo grado incompleta

L'equazione ha la forma: ax^2 + c = 0

Se a = 0, l'equazione diventa un'equazione di primo grado.

Equazione di secondo grado fratta

L'equazione ha la forma: ax^2 + bx + c / x - d = 0

Per risolverla, si impongono le condizioni di esistenza (x ≠ d e x ≠ 0) e si moltiplica per il minimo comune multiplo dei denominatori.

Equazione di secondo grado letterale

L'equazione ha la forma: ax^2 + bx + c = 0

dove a, b e c sono parametri letterali.

La discussione dell'equazione permette di stabilire per quali valori dei parametri l'equazione ammette soluzioni reali.

Relazione tra coefficienti e somma dei quadrati delle radici

La somma dei quadrati delle radici di un'equazione di secondo grado è espressa dalla formula: x1^2 + x2^2 = -b/a + c/a^2

Regola di Cartesio

In un'equazione di secondo grado a x^2 + bx + c = 0, se i coefficienti sono tutti diversi da zero e il discriminante è non negativo (Δ ≥ 0), il numero di radici positive è uguale al numero di variazioni presenti nelle coppie di coefficienti consecutivi (a, b) e (b, c).

Problemi di secondo grado in una incognita

I problemi di secondo grado in una incognita possono essere risolti attraverso la risoluzione di un'equazione di secondo grado. La soluzione dell'equazione deve essere confrontata con le condizioni poste dal problema.

Il Teorema di Cartesio afferma che in un'equazione di secondo grado ax² + bx + c = 0 con a, b, c ≠ 0 e Δ = b² - 4ac ≥ 0, il numero di radici positive è uguale al numero di variazioni presenti nelle coppie di coefficienti consecutivi. Se vi è una sola variazione, le radici sono discordi e il valore assoluto maggiore è quello della radice positiva se la variazione è nella coppia (a,b), mentre è della radice negativa se la variazione è nella coppia (b,c).

Discussione di un'Equazione Parametrica

La discussione di un'equazione parametrica significa studiare come varia l'equazione e di conseguenza il suo insieme di soluzioni al variare del parametro. Lo scopo è determinare per quali valori reali di k l'equazione ammette soluzioni reali.

Esempio

Consideriamo l'equazione k x^2 - (2k - 1) x + (k - 3) = 0, che è letterale di secondo grado in forma canonica. I suoi coefficienti dipendono dal parametro k.

Il parametro k può assumere qualsiasi valore numerico e l'equazione rappresenta una famiglia di equazioni le cui caratteristiche variano a seconda dei valori attribuiti al parametro.

Se il coefficiente della x è nullo, l'equazione assume la forma: ax^2 +c = 0. Si porta il termine noto al secondo membro e si divide per il coefficiente di x^2: ax^2 +c =0 🠞 ax^2 = -c. Il valore di x^2 prende il nome di discriminante dell’equazione. Il discriminante permette di distinguere tra tre casi: • due soluzioni reali e distinte:

• se Δ > 0, l’equazione ammette due soluzioni reali e distinte, date dalle formule x_1 = (-b + √Δ)/2a e x_2 = (-b - √Δ)/2a • una soluzione reale doppia:
• Se Δ = 0, l’equazione ha una sola soluzione reale, data dalla formula x = -b/2a • nessuna soluzione reale:
• se Δ < 0, l’equazione non ha soluzioni reali

Se in un’equazione di secondo grado i coefficienti sono tutti diversi da zero e il discriminante è non negativo, è possibile avere delle informazioni sui segni delle soluzioni senza calcolarle esplicitamente. In un’equazione ax^2 + bx + c =0, dove i coefficienti sono tutti non nulli, le coppie di coefficienti (a, b) e (b, c) sono dette coppie di coefficienti consecutivi. TEOREMA DI CARTESIO In un’equazione di secondo grado a x^2  b x c =0 con a , b , c≠ 0 e Δ = b^2 − 4 a c≥0 , il numero di radici positive è uguale al numero di variazioni presenti nelle coppie di coefficienti consecutivi. Se vi è una sola variazione, le radici sono discordi e il valore assoluto maggiore è quello della radice positiva se la variazione è nella coppia (a,b), mentre è della radice negativa se la variazione è nella coppia (b,c).